课堂笔记_ B样条曲线和NUBRS

为什么学习B样条

Bezier曲线/曲面不支持局部的修改和编辑；
Bezier曲线/曲面拼接时，满足几何连续条件是十分困难的。

B样条的历史

1946年，Schoenberg提出了一种基于样条的方法来近似曲线；

B样条的动机源于插值中的Runge-Kutta现象：高阶多项式很容易产生不稳定的上下抖动。

为什么不用分段低阶多项式通过连续的连接来代替高阶多项式呢？这就是样条（分段低阶多项式）的思想。

1972年，基于Schoenberg的工作，Gordon和Riesenfeld提出了B样条以及一系列对应的几何算法。

如何求解B样条

样条函数的插值，可以通过求解一个三对角方程来进行。
对于一个给定的区间划分，可以类似的计算样条曲线的插值。
给定区间上的所有样条函数组成一个线性空间。这个线性空间的基函数就叫做B样条基函数。

B样条基函数

1.B样条基函数Ni,k(t)的非零区间是什么？ (ti,ti+k)
-小部分非0，大部分为0，保证了B样条的局部性。

2.一共需要多少个节点？
P0对应N0,4,N0,4对应的非零区间为（t0,t4）
P1对应N1,4,N1,4对应的非零区间为（t1,t5）
P2对应N2,4,N2,4对应的非零区间为（t2,t6）
P3对应N3,4,N3,4对应的非零区间为（t3,t7）
P4对应N0,4,N4,4对应的非零区间为（t4,t8）

-共（N+K+1）个

3.B样条插值出的曲线的定义区间是什么？

上图中t3-t5有定义，其他区间无意义。总共五个基函数。k阶指的是一段内必须有k个基函数，这样才有意义，否则基底少了一个就不完备了。每个基函数跨越了k个区间。

B样条分类

一般的曲线可以根据起始点和终止点是否重叠来进行分类：
- 不重合：开曲线
- 重合：闭曲线
根据节点向量中节点的分布，B样条可以分为如下四类：

（1）均匀B样条
节点成等差数列均匀分布排布，例如：0,1,2,3,4,5,5,7

0,1,2,3定义一段，1,2,3,4定义另一段。两端之间有三个点之间重合,就可以两次连续。

最大特定：给定控制网格，就可以画出（估计出）曲线。如1,3两点的中点与2相连，相连线段的三分之一处为均匀B样条的起始点；2,4两点的中点与3相连，相连线段的三分之一处为均匀B样条过的点；这样依次连接，就可以大概画出均匀B样条。

（2）准均匀B样条：将起点和终点的都有k的重复度， 曲线就会经过端点。（对比均匀B样条，起点应在1,3两点的中点与2连线，取连线的三分之一处。）

（3）分段Bezier曲线：起始节点和终止节点都具有k的重复度，所有其他节点都具有k-1的重复度。

以上所有的分段都为Bezier曲线，对于分段Bezier曲线，不同的曲线段相互独立，移动控制点只会影响其所在的Bezier曲线段，而其他的Bezier曲线段都不会改变，甚至所有关于Bezier曲线的算法可以同样地适用于分段Bezier曲线。

但是分段Bezier曲线需要使用更多的参数和变量来进行控制：更多的控制点和更多的节点。

（4） 非均匀B样条
节点向量T=[t0,t1,…,tn+k]中的节点呈非减序列排布，并且满足：
起始节点和终止节点的重复度均小于等于k;
其他节点的重复度小于等于k-1。

性质1：局部支持性：
区间t∈[ti,ti+1]上的曲线仅至多k个控制点Pj(j=i−k+1,…，i)决定，因为在t∈[ti,ti+1]区间上最多有k个控制点有定义。

修改控制点Pi仅会影响到区间(ti,ti+k)的曲线。

性质2：连续性：
P(t)在每一个重复度为r的节点上具有Ck−1−r的连续性。
解释：假如k阶曲线，且节点向量不重复，由于k阶曲线是k-1阶连续。样条的概念是要比多项式低一次的几何连续性，所以k阶曲线在节点向量不重复的情况下，是k-1-1次连续。例如4阶曲线是（4-1-1=2）的连续。

性质3：凸包性：
一个B样条曲线被包围在其控制顶点的凸包内部。

性质4：变差缩减性（Variation Diminishing Property）：
任何一条直线与B样条曲线的交点树木不会超过该直线与B样曲线的控制多边形的交点数目。

性质5：仿射不变形：
对曲线的变化可以通过对顶点的控制来选择。

性质6：直线保持性：
如果控制多边形退化成为一条直线，那么B样条曲线依然在这条直线上。

性质7：灵活性：
使用B样条曲线可以方便地构建如线段，尖点，切线等特殊效果。

以4阶B样条为例，如果需要包含一条线段，只需要指定控制顶点Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3共线（参照均匀B样条理解，非均匀的也有根据控制点画B样条的性质，只是不在三分之一点处）。如下图中的四顶点共线。

如果希望曲线过一个点Pi,只需要指定Pi=Pi+1=Pi+2,即可得到尖点。如下图中的三重顶点。

如上图中两重顶点相切，如果需要曲线与直线L相切，只需要指定控制点Pi,Pi+1,Pi+2都在L上，并让ti+3的重复度小于2。

计算B样条上一点的值

计算B样条曲线的一点P(t),可以直接使用B样条的公司，但de Boor算法是一个更有效的算法。

当求一个在(tj,tj+1)间的点t，只有在(j-k+1,j)之间有定义。将基函数用de-Boor算法展开，合并同类项后得到一个式子。即将一个k阶B样条写成了一个k-1阶B样条的形式，控制顶点变成了线性组合。

由此写成如下的递推公式求解B样条 一点的值：


de Boor算法的递推不同于Bezier的求值，只需要特定的点求解。

节点的插入

节点插入的意义

是实际中对B样条的重要的交互操作，允许在不改变一个B样条的几何形状以及阶的条件下插入一个新的节点。通过插入新的节点，可以增加一个B样条曲线的可控程度。

插入新的节点t到节点区间[ti,ti+1]中；
节点向量变成为：

写成：

新的节点向量对应了新的B样条基函数。假设原始曲线P(t)可以由这些新的基函数和新的控制顶点P1j（待定）来表达。

在不改变B样条几何形状情况下，插入新节点后基函数变化，所以需要控制点变换，这时候就需要节点插入的算法。

节点插入的算法

很简单的一个算法，只是对当中的点进行了求取组合数。

效果演示如下：

NUBRS

B样条曲线和Bezier曲线的缺点：
不能精确表示圆锥曲线（除了抛物线）
NUBRS（Non-Uniform Rational B-Spline,非均匀有理B样条）：
目的在于找到一种精确描述圆锥曲线以及二次曲面的数学方法。

优点：
它提供了一个更一般更精确的方法，来表达并对自由曲线/曲面进行设计；
它提供了一个通用的数学公式，可以同时表示标准的解析曲线/曲面（如圆锥曲线）和自由曲线/曲面（如参数曲线/曲面）；
存在稳定快速的数值计算算法；
NUBRS不仅对于仿射变换存在不变性，对于投影变换也存在不变性；
由于NURBS的控制点和权重都可以任意修改，用NURBS来进行曲线/曲面的设计可以获得更大的灵活性；
非有理B样条，非有理和有理Bezier曲线/曲面都可以看成是NURBS的一种特殊形式。

缺点：
需要存储权因子，如权重设计不合理，NURBS曲线可能会产生畸变；