线性代数----1

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第一章 行列式

1.1行列式的定义

• 0 的三种理解

• 矩阵不能放在分母上，没有交换律

二阶行列式的定义：

a（ij）

主对角线、次对角线：

三阶行列式：

主对角线-副对角线

排列与逆序：

排列：

n级排列一共有n！种。

逆序：

逆序数：逆序的总数。

符号：N（4123）=3

逆序数是奇数，奇排列；偶数，偶排列。

标准排列：

数逆序数：

对换：

定理1.1.1：一个对换，奇偶排列改变一次。

定理1.1.2：

n阶行列式

第一种定义：按行展开。

行列式：

单个元素。和绝对值。

例题：四阶矩阵简算

下三角行列式：

上三角行列式：

对角型行列式：

另外两种副对角线：

总结类型：（主、次对角线）

第二种按列：

第三种：既不按行也不按列

考点：符号由行标和列表的逆序数之和决定。

例题：

1.2行列式的性质

转置：

两次转置等于没做：

性质1：行列式转置，值不变。

（对行成立的性质，对列也成立）

性质2：两行交换，值变号

性质3：两行或两列对应相等，D=0.

性质4：某一行都乘以k，等于用k乘以D。

推论：行列式某一行有公因子k，k可以提到外面去。

行列式所有元素均有公因子k，k提n次。

性质5：两行对应成比例，则D=0

推论：

性质6：

是和的那一行分开，其余的保持不变。

***性质7：某一行乘以一个数加到另一行上去，行列式的值不变。

例 计算行列式的值

解答过程：转化为上三角、对角相乘

变式：

解法：1、2行交换，变号。余下同上。把1换到第一个位置。

记忆方法：

1.3行列式按行展开 降阶

余子式：

代数余子式：

定理：（按某行（列）展开）

展开之前的选择：要选择哪一行？

• 选0多的行或列展开。

定理：（异乘变零）

证明：

拉普拉斯k阶子式及余子式：

拉普拉斯展开定理：

• 取定1、2行，1、2列，所以符号（-1）的1+2+1+2次方

行列式相乘：（同阶行列式）

不同阶相乘，一个个算就行。

1.4 行列式的计算

计算：

例1、a11是0时：

• 两种方法：交换1、2行或者，第二行加到第一行。

例2、展开并构造行列式

• 按行展开、构造行列式、余子式转为代数余子式，在行列式展开的时候找零多的行。

例3、制造行和：

例4、加边法、三叉型行列式

• 加边准则，不能改变原来行列式的值。

• 加边法主要是利用行列式展开进行 行列式的构造

• 有字母，放分母，要看是否有条件不等于0

例5、范德蒙德行列式：

右下角记得写上阶数

• 隐藏的范德蒙德行列式。但是第一行或者第一列一定都是相同的数，通常为1.

例6、反对称行列式、对称行列式

反对称行列式:

• 定义：aij=-aji

• 主对角元素全是0.

• 上下位置对应相反数.

性质：奇数阶，行列式的值等于0.

推导：（3阶，奇数阶）

偶数阶，没用。D=D

对称行列式:

• 主对角元素无要求。

• 上下对应相等。

• 定义：aij=aji

1.5克莱姆法则（利用行列式解方程）

使用条件：（1、方程的个数等于未知数2、D不等于0）

D=系数行列式

计算量大，一般不用。（适合计算机解题）

定理1、齐次方程至少有零解（全等于0）

定理2、

• 齐次方程，方程个数=未知数个数，D！=0，只有零解。

• D=0，齐次方程（方程个数=未知数个数）有非零解。