弥散张量成像之张量估计方法

弥散张量估计理论

Stejskal方程描绘了磁场梯度向量(magnetic-field-gradient vector)与回波图象强度(echo intensity)之间的函数关系。Stejskal方程：
磁场梯度向量：

磁场梯度的积分：

回波强度：

其中，$\gamma$γ为质子旋磁比，A(0)为无磁场梯度施加下的回波强度，H(t)为单位阶跃函数（Heaviside function），TE为回波时间，f=F(TE/2)。

随后，定义$D^{eff}$Deff 效应扩散系数张量（effective diffusivity tensor）：

转化为广义矩阵点积：

其中，

整理后可得：

因此，Stejskal方程将弥散张量估计问题转化为多元线性回归问题。在实际情况中，根据图像采集时所采用的序列，往往可以先验的得到$b_{ij}$bij​的解析表达式。例如，在pulsed-gradient spin-echo diffusion spectroscopy实验中，可以得到以下解析表达式：

弥散张量估计实例

指定$n$n个非共线的磁场梯度方向，每个方向指定$m$m个不同大小的梯度大小，进行spin-echo数据采集。
定义$\alpha$α 向量：

根据上面[9]式，计算大小为$nm$nmx7的$b$b矩阵。
根据上面[8]式，计算回波强度预测值：

根据回波强度预测值与回波强度真实值，定义多远多元回归损失函数，并进行求解：

参考文献

Basser, P.J.; Mattiello, J.; LeBihan, D. Estimation of the effective self-diffusion tensor from the NMR spin echo. J Magn Reson B., 1994, 103, 247–254.