前言

本系列文章是笔者学习GAMES101 [1]过程中的学习笔记，如有谬误请联系指出，转载请注明出处，谢谢。

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立体角

计算机图形学中的光线传播建模是一个非常重要的课题，我们考虑到光线在实际物理空间上的传播是一个空间辐射的过程，因此需要定义出三维空间中的“角度”的概念，当然这里的角度不同于二维情况下的角度容易定义。首先我们先回顾二维平面上角度的定义，给定一个圆形，如Fig 1 (a)所示，我们定义周长与对应半径的比例为角度（弧度制），即是：
θ = l r (1) \theta = \dfrac{l}{r} \tag{1} θ=rl​(1)

仿照二维空间中角度的定义，我们定义三维空间中的立体角（Solid angle），如式子(2)所示。
Ω = A r 2 (2) \Omega = \frac{A}{r^2} \tag{2} Ω=r2A​(2)
其中的 A A A是锥体在球面上围成的面积，如Fig 1 (b)所示。

式子(2)中的曲面面积并没有周长那么容易计算，我们需要使用微积分思考如何计算。如Fig 2所示，我们用球面坐标 ( θ , ϕ , r ) (\theta,\phi,r) (θ,ϕ,r)来表示球面上的任意一点，那么，我们考虑 ( d θ , d ϕ ) (\mathrm{d}\theta, \mathrm{d}\phi) (dθ,dϕ)的变化量所围成的曲面的面积大小，因为这个变化量很小，我们可以将曲面视为是一个边长为 H × W H \times W H×W的矩形。如Fig 3所示，我们可以认为其 H H H是一个等腰三角形的底。

那么通过简单的几何关系，我们有：
H = 2 r sin ⁡ ( d θ 2 ) (3) H = 2r\sin(\dfrac{\mathrm{d}\theta}{2}) \tag{3} H=2rsin(2dθ​)(3)
因为有等价无穷小关系：
sin ⁡ ( d θ 2 ) ∼ d θ 2 (4) \sin(\dfrac{\mathrm{d}\theta}{2}) \sim \dfrac{\mathrm{d}\theta}{2} \tag{4} sin(2dθ​)∼2dθ​(4)
因此式子(3)(4)联立有：
H = r d θ (5) H = r \mathrm{d}\theta \tag{5} H=rdθ(5)

同理我们可以求出矩形的 W W W为：
W = r sin ⁡ ( θ ) d ϕ (6) W = r\sin(\theta) \mathrm{d}\phi \tag{6} W=rsin(θ)dϕ(6)
那么有：
d A = H × W = ( r d θ ) ( r sin ⁡ ( θ ) d ϕ ) = r 2 sin ⁡ ( θ ) d ϕ d θ (7) \mathrm{d}A = H \times W = (r\mathrm{d}\theta)(r\sin(\theta)\mathrm{d}\phi) = r^2\sin(\theta)\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta \tag{7} dA=H×W=(rdθ)(rsin(θ)dϕ)=r2sin(θ)dϕdθ(7)
那么立体角的微元为：
d Ω = d A r 2 = sin ⁡ ( θ ) d θ d ϕ (8) \mathrm{d}\Omega = \dfrac{\mathrm{d}A}{r^2} = \sin(\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi \tag{8} dΩ=r2dA​=sin(θ)dθdϕ(8)
那么，此时对立体角微元进行全积分，我们可以得到立体角的范围最大为：
Ω = ∫ S 2 d Ω = ∫ 0 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( θ ) d θ d ϕ = 4 π (9) \Omega = \int_{S^2} \mathrm{d}\Omega = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi = 4\pi \tag{9} Ω=∫S2​dΩ=∫02π​∫0π​sin(θ)dθdϕ=4π(9)

而二维平面的角度范围是最大到 2 π 2 \pi 2π。

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Reference

[1]. https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html