点估计

矩估计法

1. 求总体前m阶矩关于m个参数的函数
2. 求其反函数
3. 以各阶矩代替总体各阶矩即得各参数的矩估计
   原点矩：$μ_k = A_k = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i^k}{n}$μk​=Ak​=n∑i=1n​Xik​​
   中心矩：$v_k = B_k = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^k}{n}$vk​=Bk​=n∑i=1n​(Xi​−Xˉ)k​

极大似然估计法

$L(θ) =\prod_{i=1}^nf(x_i,θ)$L(θ)=∏i=1n​f(xi​,θ)
$l(θ) =lnL(θ)$l(θ)=lnL(θ)
找到极大似然函数的最大值

估计量的评选准则

无偏性准则

估计量的期望是参数
$E(\hat θ) = θ$E(θ^)=θ

有效性准则

方差小的有效
$Var(\hat θ_1)\le Var(\hat θ_2)$Var(θ^1​)≤Var(θ^2​)

均方误差准则

均方误差小的好
$Mse(\hat θ)=E[(\hatθ - θ)^2] = Var(\hatθ)+[E(\hatθ)-θ]^2$Mse(θ^)=E[(θ^−θ)2]=Var(θ^)+[E(θ^)−θ]2

相合性准则

当n趋向于无穷时，$\hat θ \stackrel{P}{\longrightarrow} θ$θ^⟶P​θ

区间估计

枢轴量法

定义：样本和未知参数θ的函数G(X1,X2,…,Xn,θ)为枢轴量

构造置信区间的步骤

1. 构造一个枢轴量，要求分布完全已知
2. 设常数a,b为置信区间的上下限，置信度1-α
3. 不等式推导得出θ的上下限即可

常见枢轴量