（转）图像分割算法——Graph Cuts

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2. 几个定义
cost：代价或者费用，即图中每条边的权值w_e。
cut（割）：图中边集合E的一个子集，该cut（割）的cost（表示为|C|）就是边集C的所有边的权值的总和。
如果一个割，其包含的所有边的权值之和最小，那么这个割就称为最小割，也就是图割的结果。在图分割里，是要求两个终端顶点被分离开的，即最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s∈S，t∈T，T=V/S。事实上，这两个子集对应于图像的前景像素集和背景像素集，也就相当于完成了图像分割。

3. 图分割
寻找最优图像分割就是寻找最小化图割的过程，是通过最小化能量函数得到的。因此，发生在目标和背景的边界处的cut就是我们想要的（相当于把图像中背景和目标连接的地方割开，就相当于把其分割了）。同时，这个时候的能量应该是最小的。

假设整幅图像的标签label（每个像素的label）为A= {A₁,A₂,,,, A_p }，其中A_i为0（背景）或者1（目标）。那假设图像的分割为A时，图像的能量可以表示为：E(A)=λR(A)+B(A)。
其中，R(A)为区域项（regional term），B(A)为边界项（boundary term），而a就是区域项和边界项之间的重要因子，决定它们对能量的影响大小。如果a为0，那么就只考虑边界因素，不考虑区域因素。E(L)表示的是权值，即损失函数，也叫能量函数，图割的目标就是优化能量函数使其值达到最小。

区域项：
：定义了将像素点归为某一类（前景或背景）的惩罚。A_p只能为0或1。

t-link的权值如下：
Rp(1) = -ln Pr(Ip|’obj’)； Rp(0) = -ln Pr(Ip|’bkg’)。（因为希望能量最小，所以对于每一个像素，比较其灰度值与前景和背景的灰度直方图，得到其属于前景和背景的概率为Pr(Ip|’obj’)和Pr(Ip|’bkg’)，这里希望像素p最终被归类为其概率最大的那一类，但是又因为希望能量最小，所以这里取概率的负对数值。）

由上面两个公式可以看到，当像素p的灰度值属于目标的概率Pr(Ip|’obj’)大于背景Pr(Ip|’bkg’)，那么Rp(1)就小于Rp(0)，也就是说当像素p更有可能属于目标时，将p归类为目标就会使能量R(A)更小。那么，如果全部的像素都被正确划分为目标或者背景，那么这时候能量就是最小的。

边界项：

其中
其中，p和q为邻域像素，边界平滑项主要体现分割L的边界属性，B（p,q）可以解析为像素p和q之间不连续的惩罚，一般来说如果p和q越相似（例如它们的灰度），那么B（p,q）越大，如果他们非常不同，那么B（p,q）就接近于0。【这里我不太明白，当p和q的像素值完全相等时，B是等于0的啊，这和差异越大越接近0有点矛盾啊？？？】换句话说，如果两邻域像素差别很小，那么它属于同一个目标或者同一背景的可能性就很大，如果他们的差别很大，那说明这两个像素很有可能处于目标和背景的边缘部分，则被分割开的可能性比较大，所以当两邻域像素差别越大，B（p,q）越小，即能量越小。

总结：
我们目标是将一幅图像分为目标和背景两个不相交的部分，我们运用图分割技术来实现。首先，图由顶点和边来组成，边有权值。那我们需要构建一个图，这个图有两类顶点，两类边和两类权值。普通顶点由图像每个像素组成，然后每两个邻域像素之间存在一条边，它的权值由上面说的“边界平滑能量项”来决定。还有两个终端顶点s（目标）和t（背景），每个普通顶点和s都存在连接，也就是边，边的权值由“区域能量项”Rp(1)来决定，每个普通顶点和t连接的边的权值由“区域能量项”Rp(0)来决定。这样所有边的权值就可以确定了，也就是图就确定了。这时候，就可以通过min cut算法来找到最小的割，这个min cut就是权值和最小的边的集合，这些边的断开恰好可以使目标和背景被分割开，也就是min cut对应于能量的最小化。而min cut和图的max flow是等效的，故可以通过max flow算法来找到s-t图的min cut。

权值如下：