【读书笔记之The Scientist and Engineer‘s Guide to Digital Signal Processing第三十章】
Chapter 30. Complex Numbers
1. The Complex Number System
j
=
−
1
(1)
j=\sqrt{-1}\tag{1}
j=−1
(1)
虚数的单位是
j
j
j，一个复数由实数和虚数构成。复数在复平面上的表示如图1所示，其横轴代表实部，纵轴代表虚部。
图1中的复数可分别表示为：
A
=
2
+
6
j
A=2+6j
A=2+6j、
B
=
−
4
−
1.5
j
B=-4-1.5j
B=−4−1.5j和
C
=
3
−
7
j
C=3-7j
C=3−7j。
R
e
(
)
Re()
Re()和
I
m
(
)
Im()
Im()分别表示取复数的实部和虚部：
R
e
A
=
2
ReA=2
ReA=2
I
m
A
=
6
(2)
ImA=6\tag{2}
ImA=6(2)
2. Polar Notation
复数除了能在上述的复平面上表示，也能在Polar Notation上表示，此时需要知道两个量：幅度
M
M
M和相位角
θ
\theta
θ。
M
=
(
R
e
A
)
2
+
(
I
m
A
)
2
M=\sqrt{(Re A)^2+(Im A)^2}
M=(ReA)2+(ImA)2
θ
=
a
r
c
t
a
n
[
I
m
A
R
e
A
]
(3)
\theta=arctan[\frac{ImA}{ReA}]\tag{3}
θ=arctan[ReAImA](3)
且
R
e
A
=
M
c
o
s
(
θ
)
ReA=Mcos(\theta)
ReA=Mcos(θ)
I
m
A
=
M
s
i
n
(
θ
)
(4)
ImA=Msin(\theta)\tag{4}
ImA=Msin(θ)(4)
复数在Polar Notation上表示的表示如图2所示。
因此, 复数可以用以下两种不同的方式表示：
a
+
j
b
=
M
(
c
o
s
θ
+
j
s
i
n
θ
)
(5)
a+jb=M(cos\theta+jsin\theta)\tag{5}
a+jb=M(cosθ+jsinθ)(5)
进一步，还能用欧拉公式更加简洁地表示：
e
j
x
=
c
o
s
(
x
)
+
j
s
i
n
(
x
)
(6)
e^{jx}=cos(x)+jsin(x)\tag{6}
ejx=cos(x)+jsin(x)(6)
a
+
j
b
=
M
e
j
θ
(7)
a+jb=Me^{j\theta}\tag{7}
a+jb=Mejθ(7)
3. Using Complex Numbers by Substitution
当需要解决physical problems，可以先将其转化为复数形式，然后对复数进行操作，最后再转化为physical problems。有两种方法可以将physical problems使用复数表示：substitution和mathematical equivalence。该章节只讨论前者。
substitution将两个physical parameters以复数的形式组合起来，一个放在复数的实部，另一个放在复数的虚部。
矢量可以表示力、速度和加速度等。比如：一艘帆船被风向一个方向推动，被洋流向另一个方向推动。帆船收到的合力是两个矢量的矢量和，矢量
A
A
A和矢量
B
B
B通过平行四边形定律相加得到矢量
C
C
C。如图3所示。
该问题可以用复数表示，将东西方向作为复数的实部，将南北方向作为复数的虚部。风的力
A
A
A可以表示为
2
+
6
j
2+6j
2+6j，洋流的力
B
B
B可以表示为
4
−
3
j
4-3j
4−3j。对
A
A
A和
B
B
B用复数加法得到合力
C
=
6
+
3
j
C=6+3j
C=6+3j。再将其转化成物理意义为：帆船受到的合力为北向6，东向3。
substitution的本质是: 通过给physical parameters添加 j j j，将physical problems转化为复数形式，丢掉 j j j又能将复数形式转化为physical problems。
当然，并不是所有的问题均能用复数表示并解决，适应于复数的规则也许并不适用于实际的physical problems。必须将其用于那些能适用复数规则的physical problems。