1 自行车模型

在自行车模型中，我们假设车辆姿态处于一个二维的平面坐标系内，车辆的姿态可以由位移（position）和车身夹角（heading）完全描述，并且前后轮由一个刚性（rigid）轴连接，前轮可转动，后轮只能直行。

自行车模型的一个重要特征是：如果车辆不向前移动，就不能横向位移，称为非完整性约束（nonholonomic constraint）。
无人驾驶的规划与控制（四）——反馈控制

符号	含义
$\overline{e}_{x},\overline{e}_{y}$	x和y方向的单位向量
$p_{r}$	position rear tyre 后轮所在位置的向量
$\dot{p}_{r}$	后轮地面接触点瞬时速度向量
$p_{f}$	position front tyre 前轮所在位置的向量
$\dot{p}_{f}$	前轮地面接触点瞬时速度向量
$\theta$	车身的朝向角，即后轮朝向角 $\dot{P}_r$ 和 $\overline{e}_x$ 的夹角
$\delta$	方向盘转角，前轮朝向和车身朝向的夹角
$l$	刚性轴长度

这样后轮的x方向速度分量 $\dot{x}_r$ ，y方向速度分量 $\dot{y}_r$ ，和朝向角可以表示为：
$\dot{x}_{r}=v_{r} \cos (\theta)$

$\dot{y}_{r}=v_{r} \sin (\theta)$

$\theta=v_{r} \tan (\delta) / l$

同理，前轮的x方向速度分量 $\dot{x}_f$ ，y方向速度分量 $\dot{y}_f$ ，和朝向角可以表示为：
$\dot{x}_{f}=v_{f} \cos (\theta+\delta)$

$\dot{y}_{f}=v_{f} \sin (\theta+\delta)$

$\theta=v_{f} \sin (\delta) / l$

前后轮的切向速度满足： $v_{r}=v_{f} \cos (\delta)$

在这样的车辆模型下，反馈控制需要解决的问题之一，就是寻找满足车辆动态姿态限制的方向盘转角 $\delta\in[\delta_{min},\delta_{max}]$ 和前向速度 $v_r\in[v_{min},v_{max}]$ 。

2 PID反馈控制

无人驾驶的规划与控制（四）——反馈控制

无人车反馈控制模块的任务，是控制车辆尽可能遵循上游动作规划（轨迹和速度）出的时空轨迹。

这里使用两个PID控制器分别控制方向盘转角 $\delta$ 以及前进速度 $v_s$ 。

2.1 横向控制

横向控制主要跟踪的变量误差主要是轨迹的横向误差，和角度误差。

在n采样时刻，控制方向盘转角的PID控制器如下：
$\delta_{n}=K_{1} \theta_{e}+K_{2} l_{e} / V_{s}+K_{3} i_{e}+K_{4} \sum_{i=1}^{n} l_{e} \Delta t$

符号	说明
$\theta_e$	当前车朝向，和基准轨迹点（Reference Point）之间的跟踪角度误差
$l_e$	横向位置和基准点轨迹之间的距离误差
$V_s$	车辆在纵向方向的速度

2.2 纵向控制

纵向控制主要跟踪的速度误差，其中速度误差是轨迹曲率和基准轨迹点曲率的函数：
$V_e=-f\left(k_{\text { Vehicle }}, k_{\text { Reference }}\right)$
因此前进速度的PID控制器可以写成：
$U_{V}=K_{P} V_{e}+K_{I} \sum V_{e} \Delta t+K_{D} \Delta V_{e} / \Delta t$