美团秋招笔试题--可乐瓶盖

某次买可乐集瓶盖活动中有5种不同的瓶盖以等概率出现，每买一瓶汽水可得到一个瓶盖，集齐所有瓶盖所买汽水瓶数的期望，与以下哪个结果最为接近？

A.9

B.11

C.13

D.15

答案是B。标准解法是：

取到一种不同瓶盖的期望次数为1； 在已经取到一种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（4/5）=5/4； 在已经取到两种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（3/5）=5/3； 。。。 因此，取到五种瓶盖的期望次数为1+5/4+5/3+5/2+5/1=11+5/12。

对于这个解法有些疑惑：为何连续期望的和等于最终期望？

特地写了个程序验证：

大概的思路是：（代码已丢失）