一、循环神经网络基础

​ 在前面的文章中，介绍了全连接神经网络(DNN)和卷积神经网络(CNN)，以及它们的训练和使用。回忆一下，它们都是能单独的处理一个个的输入，前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。然后，现实当中是，某些任务需要能够更好的处理序列性质的信息，即前面的输入和后面的输入是有关系的。例如，当我们理解一句话意思时，孤立的理解这句话的每个词都是不够的，我们需要处理这些词连接起来的整个序列；当我们处理视频时，也不能只单独的去分析每一帧，而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时，使用我们前文介绍的DNN和CNN是不够的，而需要用到深度学习领域中另一类非常重要的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)。RNN种类繁多，过程繁琐，本部分首先对其结构进行剥茧抽丝，以理解RNNs及其训练算法；进一步地，介绍两中常见的RNN类型：长短时记忆网络(Long Short-Term Memory Network,LSTM)，门控循环单元(Gated Recurrent Unit, GRU)。

1.1 从语言模型开始

为什么要从语言模型开始呢？因为，RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，例如，RNN可以构建语言模型。那什么是语言模型呢？

我们可以让电脑做这样一个练习：写出一个句子前面的一些词，然后，让电脑帮我们写出接下来的一个词。比如下面这句话：

我昨天上学迟到了，老师批评了____。

在这个句子中，接下来的词最有可能的是“我”，而不是“小明”，更不会是“吃饭”。

在这个例子中，语言模型是这样的一个东西：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。

语言模型是对一种语言的特征进行建模，它有很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中，声学模型输出的结果，往往是若干个可能的候选词，这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最有可能的。当然，它同样也可以用在图像到文本的识别中国(OCR)。

在使用RNN之前，语言模型主要采用N-Gram算法。N是一个自然数，比如2或者3.它的含义是：假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例，对这句话给出部分进行分词：

我|昨天|上学|迟到|了|，|老师|批评|了|____。

如果用2-Gram进行建模，那么电脑在预测的时候，只会看到前面的“了”，然后，电脑会在语料库中，搜索“了”后面最有可能的一个词。不管最后电脑选择的是不是“我”，显然这个模型是不靠谱的，因为“了”前面说了那么一大推实际上是没有用到的。如果使用3-Gram模型呢，会搜索“批评了”后面最有可能的词，感觉比2-Gram靠谱了不少，但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息“我”，远在9个词之前。

看到这儿，大家可能会想，可以继续提升N的值呀，比如4-Gram、5-Gram、$\dots$…。实际上，大家再深入想一下就会发现，这个想法是没有实用性的，因为当我们想处理任意长度的句子时，N设为多少都是不合适的；另外，模型的大小和N的关系是指数级的，4-Gram模型就会占用海量的存储空间。

所以，就该轮到RNN出场了，RNN理论上可以往前看（或往后看）任意多个词。

1.2 什么是循环神经网络？

循环神经网络种类繁多，我们先从最简单的基础循环神经网络开始吧～

1.2.1 基本循环神经网络

下图是一个简单的循环神经网络，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：

循环神经网络的实在是太难画出来了，网上所有大神们都不得不用了这种抽象的手法。不过，仔细看的话，如果把上面有$W$W的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接网络了。$x$x是一个向量，它表示输入层的值（这里没有画出来表示输入层神经元节点的圆圈），$s$s是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数目与向量$s$s的维度相同）；$U$U是输入层到隐藏层的权重矩阵；$O$O也是一个向量，它表示输出层的值；$V$V是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么，现在我们来看看$W$W是什么，循环神经网络的隐藏层的值$s$s不仅仅取决于当前这次输入$x$x，还取决于上一次隐藏层的值$s$s。权重矩阵$W$W就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。

如果我们把上面的图展开，循环神经网络的也可以画成下面的样子：

现在看上去就比较清晰了，这个网络在$t$t时刻接收到输入$x_t$xt​之后，隐藏层的值是$s_t$st​，输出值是$o_t$ot​。关键一点是，$s_t$st​的值不仅仅取决于$x_t$xt​，还取决于$s_{t-1}$st−1​。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法：

​ $o_t=g(Vs_t) \tag{1}$ot​=g(Vst​)(1)

​ $s_t = f(Ux_t+Ws_{t-1}) \tag{2}$st​=f(Uxt​+Wst−1​)(2)

式1是输出层的计算公式，输出层是全连接层，也就是它的节点都是和隐藏层的每个节点相连。$V$V是一个输出层的权重矩阵，$g$g是**函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。$U$U是输入$x$x的权重矩阵，$W$W是上一次输出值$s_{t-1}$st−1​作为这一次输入的权重矩阵，$f$f是**函数。

从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵$W$W。

如果反复把式2带入到式1，我们可以得到：

​ $\begin{aligned}o_t &=g(Vs_t) \\ &=Vf(Ux_1+Ws_{t-1})\\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Ws_{t-2}))\\&=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Ws_{t-3})))\\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Wf(Ux_{t-3}+\dots)))) \end{aligned}$ot​​=g(Vst​)=Vf(Ux1​+Wst−1​)=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wst−2​))=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wf(Uxt−2​+Wst−3​)))=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wf(Uxt−2​+Wf(Uxt−3​+…))))​

从上面可以看出，循环神经网络的输出值$o_t$ot​，是受前面历次输入值$X_t$Xt​、$X_{t-1}$Xt−1​、$X_{t-2}$Xt−2​、$\dots$…影响的，这也是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。

1.2.2 双向循环神经网络

对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，比如下面这句话：

我的手机坏了，我打算____一部新手机。

可以想象的是，如果我们只看到横线前面的词，手机坏了，那么我是打算修一修？换一部新的手机？还是哭哭？这些都是无法确定的。但是如果我们还看到横线后面的词是“一部新手机”，那么，横线上的词填“买”的概率就大得多了。

在上一节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的，因此，我们需要双向循环神经网络，如下图所示：

当遇到这种从未来穿越回来的场景时，难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法：先分析一个特殊场景，然后再总结一般的规律。我们先考虑上图中，$y_2$y2​的计算。

从上图可以看出，双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值，一个$A$A参与正向计算，另一个值$A'$A′参与计算。最终的输出值$y_2$y2​取决于$A_2$A2​和$A_2'$A2′​。其计算方法为：

​ $y_2=g(VA_2+V'A_2')$y2​=g(VA2​+V′A2′​)

其中$A_2$A2​和$A_2'$A2′​的计算为：

​ $A_2=f(WA_1+UX_2)$A2​=f(WA1​+UX2​)

​ $A_2'=f(W'A_3'+U'X_2)$A2′​=f(W′A3′​+U′X2​)

至此，我们已经可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值$S_t$St​与$S_{t-1}$St−1​有关；反向计算时，隐藏层的值$S_t'$St′​与$S_{t+1}'$St+1′​有关；最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在，我们仿照式1和式2，写出双向循环神经网络的计算方法：

​ $O_t=g(VS_t+V'S_t')$Ot​=g(VSt​+V′St′​)

​ $S_t=f(UX_t+WS_{t-1})$St​=f(UXt​+WSt−1​)

​ $S_t'=f(U'X_t+W'S_{t+1}')$St′​=f(U′Xt​+W′St+1′​)

从上面的三个公式可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说$U$U和$U'$U′，$W$W和$W'$W′，$V$V和$V'$V′都是不同的权重矩阵。

1.2.3 深度循环神经网络

前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，当然了，也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：

我们把第$i$i个隐藏层的值表示为$S_t^{(i)}$St(i)​、$S_t'^{(i)}$St′(i)​，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：

​ $O_t=g(V^{(i)}S_t^{(i)}+V'^{(i)}S_t'^{(i)})$Ot​=g(V(i)St(i)​+V′(i)St′(i)​)

​ $S_t^{(i)}=f(U^{(i)}S_t^{i-1}+W^{(i)}S_{t-1})$St(i)​=f(U(i)Sti−1​+W(i)St−1​)

​ $S_t'^{(i)}=f(U'^{(i)}S_t'^{(i-1)}+W'^{(i)}S_{t+1}')$St′(i)​=f(U′(i)St′(i−1)​+W′(i)St+1′​)

​ $\cdots$⋯

​ $S_t^{(1)}=f(U^{(1)}X_t+W^{(1)}S_{t-1})$St(1)​=f(U(1)Xt​+W(1)St−1​)

​ $S_t'^{(1)}=f(U'^{(1)}X_t+W'^{(1)}S_{t+1}')$St′(1)​=f(U′(1)Xt​+W′(1)St+1′​)

1.3 循环神经网络的训练

1.3.1 循环神经网络的训练算法：BPTT

$BPTT$BPTT算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和$BP$BP算法是一样的，也包含同样的三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值；

2. 反向计算每个神经元的**误差项$\delta_j$δj​**值，它是误差函数$E$E对神经元$j$j的加权输入$net_j$netj​的偏导数；

3. 计算每个权重的梯度。

   循环层如下图所示：

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最后再用随机梯度下降算法更新权重。

前向计算

使用前面的式2对循环层进行前向计算：

​ $S_t=f(UX_t+WS_{t-1})$St​=f(UXt​+WSt−1​)

注意：上面的$S_t$St​、$X_t$Xt​、$S_{t-1}$St−1​都是向量，用黑体字母表示（在这里都用大写替代表示了????，将就看吧❤️）；而$U$U、$V$V是矩阵，用大写字母表示。向量的下标表示时刻，例如，$S_t$St​表示在$t$t时刻向量$S$S的值。

我们假设输入向量$X$X的维度是$m$m，输出向量$S$S的维度是$n$n，则矩阵$U$U的维度是$n$n x $m$m，矩阵$W$W的维度是$n$n x $n$n。下面是我们上式展开成矩阵的样子，看起来更直观一些：

​ $\left[ \begin{matrix} s_1^t \\ s_2^t \\ \vdots \\ s_n^t \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1m}\\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \\ s_2^{t-1} \\ \vdots \\ s_n^{t-1} \end{matrix} \right])$⎣⎢⎢⎢⎡​s1t​s2t​⋮snt​​⎦⎥⎥⎥⎤​=f(⎣⎢⎢⎢⎡​u11​u21​⋮un1​​u12​u22​⋮un2​​⋯⋯⋱⋯​u1m​u2m​⋮unm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xm​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​)

上式中，手写体字母表示向量的一个元素，它的下标表示它是这个向量的第几个元素，它的上标表示第几个时刻。例如，$s_j^t$sjt​表示向量$S$S的第$j$j个元素在$t$t时刻的值；$u_{ji}$uji​表示输入层第$i$i个神经元到循环层第$j$j个神经元的权重；$w_{ji}$wji​表示循环层第$t-1$t−1时刻的第$i$i个神经元到循环层第$t$t个时刻的第$j$j个神经元的权重。

误差项的计算

$BTPP$BTPP算法将第$l$l层$t$t时刻的**误差项$\delta_t^l$δtl​**值沿两个方向传播，一个方向是其传递到上一层网络，得到$\delta_t^{l-1}$δtl−1​，这一部分只和权重矩阵$U$U相关；另一个方向是将其沿时间线传递到初始时刻$t_1$t1​，得到$\delta_1^l$δ1l​，这部分只和权重矩阵$W$W相关。

我们用向量$net_t$nett​表示神经元在$t$t时刻的加权输入，得到：

​ $net_t=UX_t+WS_{t-1}$nett​=UXt​+WSt−1​

​ $S_{t-1}=f(net_{t-1})$St−1​=f(nett−1​)

因此：

​ $\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}}$∂nett−1​∂nett​​=∂St−1​∂nett​​∂nett−1​∂St−1​​

约定：我们使用$a$a表示列向量，用$a^T$aT表示行向量。

上式第一项是向量函数对向量求导，其结果为$Jacobian$Jacobian矩阵：

​ $\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial net_1^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_n^{t-1}} \\ \frac{\partial net_2^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_n^{t-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial net_n^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\\ &=W \end{aligned}$∂St−1​∂nett​​​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂S1t−1​∂net1t​​∂S1t−1​∂net2t​​⋮∂S1t−1​∂netnt​​​∂S2t−1​∂net1t​​∂S2t−1​∂net2t​​⋮∂S2t−1​∂netnt​​​⋯⋯⋱⋯​∂Snt−1​∂net1t​​∂Snt−1​∂net2t​​⋮∂Snt−1​∂netnt​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​=W​

同理，上式第二项也是一个$Jacobian$Jacobian矩阵：

​ $\begin{aligned}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \\ \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} f'(net_1^{t-1}) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f'(net_2^{t-1}) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f'(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right]\\ &=diag[f'(net_{t-1})] \end{aligned}$∂nett−1​∂St−1​​​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂net1t−1​∂S1t−1​​∂net1t−1​∂S2t−1​​⋮∂net1t−1​∂Snt−1​​​∂net2t−1​∂S1t−1​​∂net2t−1​∂S2t−1​​⋮∂net2t−1​∂Snt−1​​​⋯⋯⋱⋯​∂netnt−1​∂S1t−1​​∂netnt−1​∂S2t−1​​⋮∂netnt−1​∂Snt−1​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​f′(net1t−1​)0⋮0​0f′(net2t−1​)⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮f′(netnt−1​)​⎦⎥⎥⎥⎤​=diag[f′(nett−1​)]​

$diag[a]$diag[a]表示根据向量$a$a创建一个对角矩阵，即

​ $\begin{aligned}diag(a) &=\left[ \begin{matrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{matrix} \right] \end{aligned}$diag(a)​=⎣⎢⎢⎢⎡​a1​0⋮0​0a2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮an​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

最后，将两项合在一起，得到：

​ $\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}} &=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} \\ &=Wdiag[f'(net_{t-1})] \\ &=\left[ \begin{matrix} w_{11}f'(net_1^{t-1}) & w_{12}f'(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{1n}f'(net_n^{t-1})\\ w_{21}f'(net_1^{t-1}) & w_{22}f'(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{2n}f'(net_n^{t-1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1}f'(net_1^{t-1}) & w_{n2}f'(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{nm}f'(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right] \end{aligned}$∂nett−1​∂nett​​​=∂St−1​∂nett​​∂nett−1​∂St−1​​=Wdiag[f′(nett−1​)]=⎣⎢⎢⎢⎡​w11​f′(net1t−1​)w21​f′(net1t−1​)⋮wn1​f′(net1t−1​)​w12​f′(net2t−1​)w22​f′(net2t−1​)⋮wn2​f′(net2t−1​)​⋯⋯⋱⋯​w1n​f′(netnt−1​)w2n​f′(netnt−1​)⋮wnm​f′(netnt−1​)​⎦⎥⎥⎥⎤​​

上式描述了将$\delta$δ沿着时间往前传递一个时刻的规律，有了这个规律，我们就可以求得任意时刻$k$k的误差项$\delta_k$δk​：

​ $\begin{aligned}\delta_k^T &=\frac{\partial E}{\partial net_k} \\ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_k} \\ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial net_{t-2}} \cdots \frac{\partial net_{k+1}}{\partial net_k} \\ &=Wdiag[f'(net_{t-1})]Wdiag[f'(net_{t-2})] \cdots Wdiag[f'(net_k)]\delta_t^l \\ &=\delta_t^T\prod_{i=k}^{t-1}Wdiag[f'(net_i)] \end{aligned} \tag{3}$δkT​​=∂netk​∂E​=∂nett​∂E​∂netk​∂nett​​=∂nett​∂E​∂nett−1​∂nett​​∂nett−2​∂nett−1​​⋯∂netk​∂netk+1​​=Wdiag[f′(nett−1​)]Wdiag[f′(nett−2​)]⋯Wdiag[f′(netk​)]δtl​=δtT​i=k∏t−1​Wdiag[f′(neti​)]​(3)

上式就是将误差沿时间反向传播的算法。

误差项传递到上一层

循环层将误差项反向传播到上一层网络，与普通的全连接是完全一样的，这在全面的文章中已经详细介绍过，此处仅简要介绍：

循环层的加权输入$net^l$netl与上一层的加权输入$net^{l-1}$netl−1关系如下：

​ $net_t^l=Ua_t^{l-1}+WS_{t-1}$nettl​=Uatl−1​+WSt−1​

​ $a_t^{l-1}=f^{l-1}(net_t^{l-1})$atl−1​=fl−1(nettl−1​)

上式中的$net_t^l$nettl​是第$l$l层神经元的加权输入（假设第$l$l 层是循环层）；$net_t^{l-1}$nettl−1​是第$l-1$l−1层神经元的加权输入；$a_t^{l-1}$atl−1​是第$l-1$l−1层神经元的输出；$f^{l-1}$fl−1是第$l-1$l−1层的**函数。

​ $\begin{aligned}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} &=\frac{\partial net^l}{\partial a_t^{l-1}}\frac{\partial a_t^{l-1}}{\partial net_t^{l-1}} \\ &=Udiag[f'^{l-1}(net_t^{l-1})] \end{aligned}$∂nettl−1​∂nettl​​​=∂atl−1​∂netl​∂nettl−1​∂atl−1​​=Udiag[f′l−1(nettl−1​)]​

进一步地，

​ $\begin{aligned}(\delta_t^{l-1})^T &=\frac{\partial E}{\partial net_t^{l-1}} \\ &=\frac{\partial E}{\partial net_t^l}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} \\ &=(\delta_t^l)^TUdiag[f'^{l-1}(net_t^{l-1})] \end{aligned}$(δtl−1​)T​=∂nettl−1​∂E​=∂nettl​∂E​∂nettl−1​∂nettl​​=(δtl​)TUdiag[f′l−1(nettl−1​)]​

该式即为将误差传递到上一层的算法。

权重梯度的计算

现在，终于来到了$BPTT$BPTT算法的最后一步：计算每个权重的梯度。

首先，我们计算误差函数$E$E对权重矩阵$W$W的梯度$\frac{\partial E}{\partial W}$∂W∂E​。

上图展示了我们到目前为止，在前面两步计算得到的量，包括每个时刻$t$t的循环输出值$S_t$St​,以及误差项$\delta_t$δt​。

回忆一下全连接网络的权重梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项$\delta_t$δt​，以及上一个时刻循环层的输出值$S_{t-1}$St−1​，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在$t$t时刻的梯度$\nabla_{W_t}E$∇Wt​​E：

​ $\begin{aligned}\nabla_{W_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1^ts_1^{t-1} & \delta_1^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_1^ts_n^{t-1} \\ \delta_2^ts_1^{t-1} & \delta_2^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_2^ts_n^{t-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_n^ts_1^{t-1} & \delta_n^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_n^ts_n^{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned} \tag{4}$∇Wt​​E​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​(4)

式中，$\delta_i^t$δit​表示$t$t时刻误差项向量的第$i$i个分量；$s_i^{t-1}$sit−1​表示$t-1$t−1时刻循环层第$i$i个神经元的输出值。

式4推导

由前文知$net_t=UX_t+WS_{t-1}$nett​=UXt​+WSt−1​，即

​ $\begin{aligned}\left[ \begin{matrix} net_1^t \\ net_2^t \\ \vdots \\ net_n^t \end{matrix} \right] &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \\ s_2^{t-1} \\ \vdots \\ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \\ &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11}s_1^{t-1} & w_{12}s_2^{t-1} & \cdots & w_{1n}s_n^{t-1}\\ w_{21}s_1^{t-1} & w_{22}s_2^{t-1} & \cdots & w_{2n}s_n^{t-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{n1}s_1^{t-1} & w_{n2}s_2^{t-1} & \cdots & w_{nm}s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}$⎣⎢⎢⎢⎡​net1t​net2t​⋮netnt​​⎦⎥⎥⎥⎤​​=UXt​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=UXt​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​s1t−1​w21​s1t−1​⋮wn1​s1t−1​​w12​s2t−1​w22​s2t−1​⋮wn2​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​w1n​snt−1​w2n​snt−1​⋮wnm​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

因为对$W$W求导与$UX_t$UXt​无关，我们不再考虑。现在，我们考虑对权重$w_{ji}$wji​求导。通过观察上式我们可以看到$w_{ji}$wji​只与$net_j^t$netjt​有关，所以：

​ $\begin{aligned}\frac{\partial E}{\partial w_{ji}} &=\frac{\partial E}{\partial net_j^t}\frac{\partial net_j^t}{\partial w_{ji}} \\ &=\delta_j^ts_i^{t-1} \end{aligned}$∂wji​∂E​​=∂netjt​∂E​∂wji​∂netjt​​=δjt​sit−1​​

按照上面的规律就可以生成式4里面的矩阵。

我们已经求得了权重矩阵$W$W在$t$t 的梯度$\nabla_{W_t}E$∇Wt​​E，最终的梯度$\nabla_WE$∇W​E是各个时刻的梯度之和：

​ $\begin{aligned}\nabla_WE &= \Sigma_{i=1}^t\nabla_{W_t}E \\ &=\left[ \begin{matrix} \delta_1^1s_1^0 & \delta_1^1s_2^0 & \cdots & \delta_1^1s_n^0 \\ \delta_2^1s_1^0 & \delta_2^1s_2^0 & \cdots & \delta_2^1s_n^0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_n^1s_1^0 & \delta_n^1s_2^0 & \cdots & \delta_n^1s_n^0 \end{matrix} \right]+\cdots+\left[ \begin{matrix} \delta_1^ts_1^{t-1} & \delta_1^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_1^ts_n^{t-1} \\ \delta_2^ts_1^{t-1} & \delta_2^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_2^ts_n^{t-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_n^ts_1^{t-1} & \delta_n^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_n^ts_n^{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}\tag5{}$∇W​E​=Σi=1t​∇Wt​​E=⎣⎢⎢⎢⎡​δ11​s10​δ21​s10​⋮δn1​s10​​δ11​s20​δ21​s20​⋮δn1​s20​​⋯⋯⋱⋯​δ11​sn0​δ21​sn0​⋮δn1​sn0​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⋯+⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​(5)

式5就是计算循环层权重矩阵$W$W梯度的公式。

前面已经介绍了$\nabla_WE$∇W​E的计算方法，看上去还是比较直观的。然而，读者也许会困惑，为什么最终的梯度是各个时刻的梯度之和呢？我们前面只是直接用了这个结论，实际上这里面是有道理的，只是这个数学推导比较绕脑子。感兴趣的同学可以仔细阅读接下来这一段，它用到了矩阵对矩阵求导、张量与向量相乘运算的一些法则。

式5推导

我们还是从这个式子开始：

​ $net_t=UX_t+Wf(net_{t-1})$nett​=UXt​+Wf(nett−1​)

因为$UX_t$UXt​与$W$W完全无关，我们把它看作常量。现在，考虑第一个式子加号右边的部分，因为$W$W和$f(net_{t-1})$f(nett−1​)都是$W$W的函数，因此我们要用到大学里学过的复合函数求导方法：

​ $(uv)'=u'v+uv'$(uv)′=u′v+uv′

因此，上面的式子写成：

​ $\frac{\partial net_t}{\partial W}=\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+W\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W}$∂W∂nett​​=∂W∂W​f(nett−1​)+W∂W∂f(nett−1​)​

我们最终需要计算的是$\nabla_WE$∇W​E：

​ $\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \\ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \\ &=\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} \end{aligned} \tag{6}$∇W​E​=∂W∂E​=∂nett​∂E​∂W∂nett​​=δtT​∂W∂W​f(nett−1​)+δtT​W∂W∂f(nett−1​)​​(6)

先计算式6加号左边部分。$\frac{\partial W}{\partial W}$∂W∂W​是矩阵对矩阵求导，其结果是一个四维张量(tensor)：

​ $\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial W} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial W} & \frac{\partial w_{12}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{1n}}{\partial W} \\ \frac{\partial w_{21}}{\partial W} & \frac{\partial w_{22}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{2n}}{\partial W} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial w_{n1}}{\partial W} & \frac{\partial w_{n2}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{nn}}{\partial W} \end{matrix} \right] \\ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{1n}} \\ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{1n}} \\ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] \cdots \\ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \\ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \\ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \end{aligned}$∂W∂W​​=⎣⎢⎢⎢⎡​∂W∂w11​​∂W∂w21​​⋮∂W∂wn1​​​∂W∂w12​​∂W∂w22​​⋮∂W∂wn2​​​⋯⋯⋱⋯​∂W∂w1n​​∂W∂w2n​​⋮∂W∂wnn​​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​∂w11​∂w11​​∂w21​∂w11​​⋮∂wn1​∂w11​​​∂w12​∂w11​​∂w22​∂w11​​⋮∂wn2​∂w11​​​⋯⋯⋱⋯​∂w1n​∂w11​​∂w2n​∂w11​​⋮∂wnn​∂w11​​​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​∂w11​∂w12​​∂w21​∂w12​​⋮∂wn1​∂w12​​​∂w12​∂w12​​∂w22​∂w12​​⋮∂wn2​∂w12​​​⋯⋯⋱⋯​∂w1n​∂w12​​∂w2n​∂w12​​⋮∂wnn​∂w12​​​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​10⋮0​00⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​10⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

接下来，我们知道$S_{t-1}=f(net_{t-1})$St−1​=f(nett−1​)，它是一个列向量。让上面的四维张量与这个向量相乘，得到一个三维张量，再左乘行向量$\delta_t^T$δtT​，最终得到一个矩阵：

​ $\begin{aligned}\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1}) &=\delta_t^T\frac{\partial E}{\partial W}S_{t-1} \\ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \\ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \\ s_2^{t-1} \\ \vdots \\ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \\ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right] \cdots \\ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \\ &= \left[ \begin{matrix}\delta_1^t & \delta_2^t & \cdots & \delta_n^t \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right] \cdots \\ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} \delta_1^ts_1^{t-1} & \delta_1^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_1^ts_n^{t-1} \\ \delta_2^ts_1^{t-1} & \delta_2^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_2^ts_n^{t-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_n^ts_1^{t-1} & \delta_n^ts_2^{t-1} & \cdots & \delta_n^ts_n^{t-1} \end{matrix} \right] \\ &=\nabla_{W_t}E \end{aligned}$δtT​∂W∂W​f(nett−1​)​=δtT​∂W∂E​St−1​=δtT​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​10⋮0​00⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​10⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=δtT​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​s2t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=[δ1t​​δ2t​​⋯​δnt​​]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​s2t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=∇Wt​​E​

先计算式6加号右边部分

$\begin{aligned}\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} &=\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \\ &=\delta_t^T Wf'(net_{t-1})\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \\ &=\delta_t^T\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \\ &=\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \end{aligned}$δtT​W∂W∂f(nett−1​)​​=δtT​W∂nett−1​∂f(nett−1​)​∂W∂nett−1​​=δtT​Wf′(nett−1​)∂W∂nett−1​​=δtT​∂nett−1​∂nett​​∂W∂nett−1​​=δt−1T​∂W∂nett−1​​​

于是，我们得到了如下递推公式：

​ $\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \\ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \\ &=\nabla_{W_t}E+\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \\ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\delta_{t-2}^T\frac{\partial net_{t-2}}{\partial W} \\ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\cdots+\nabla_{W_1}E \\ &=\Sigma_{k=1}^t \nabla_{W_k}E \end{aligned}$∇W​E​=∂W∂E​=∂nett​∂E​∂W∂nett​​=∇Wt​​E+δt−1T​∂W∂nett−1​​=∇Wt​​E+∇Wt−1​​E+δt−2T​∂W∂nett−2​​=∇Wt​​E+∇Wt−1​​E+⋯+∇W1​​E=Σk=1t​∇Wk​​E​

以上过程证明了：最终的梯度$\nabla_WE$∇W​E是各个时刻的梯度之和。

同权重矩阵$W$W类似，我们可以得到权重矩阵$U$U的计算方法：

​ $\begin{aligned}\nabla_{U_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1^tx_1^t & \delta_1^tx_2^t & \cdots & \delta_1^tx_m^t \\ \delta_2^tx_1^t & \delta_2^tx_2^t & \cdots & \delta_2^tx_m^t \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_n^tx_1^t & \delta_n^ts_2^t & \cdots & \delta_n^tx_m^t \end{matrix} \right] \end{aligned}$∇Ut​​E​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​x1t​δ2t​x1t​⋮δnt​x1t​​δ1t​x2t​δ2t​x2t​⋮δnt​s2t​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​xmt​δ2t​xmt​⋮δnt​xmt​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

上式是误差函数$E$E在$t$t时刻对权重矩阵$U$U的梯度。和权重矩阵$W$W一样，最终的梯度也是各个时刻的梯度之和：

​ $\nabla_UE=\Sigma_{i=1}^t\nabla_{U_i}E$∇U​E=Σi=1t​∇Ui​​E

具体证明不再赘述，感兴趣的同学可以练习推导。

1.3.2 $RNN$RNN的梯度爆炸和消失问题

不幸的是，实践中前面介绍的几种$RNNs$RNNs并不能很好的处理较长的序列。纳尼？！这不是和前面说的矛盾吗，前面不是说能任意长么，大家可以回头看一眼，前面说的是[理论上]可以任意上，现实和理想还是有一定距离的。一个主要的原因是,$RNN$RNN在训练中很容易发生梯度爆炸和梯度消失，这导致训练时梯度不能在较长序列中一直传递下去，从而使$RNN$RNN无法捕捉到长距离的影响。

为什么$RNN$RNN会产生梯度爆炸和消失呢？我们接下来将详细分析一下原因。我们根据式3可得：

​ $\delta_k^T=\delta_t^T\prod_{i=k}^{t-1}Wdiag[f'(net_i)]$δkT​=δtT​∏i=kt−1​Wdiag[f′(neti​)]

​ $\begin{aligned} \parallel \delta_k^T \parallel &\leq \parallel \delta_t^T \parallel \prod_{i=k}^{t-1}\parallel W \parallel \parallel diag[f'(net_i)] \parallel \\ &\leq \parallel \delta_t^T \parallel(\beta_W\beta_f)^{t-k} \end{aligned}$∥δkT​∥​≤∥δtT​∥i=k∏t−1​∥W∥∥diag[f′(neti​)]∥≤∥δtT​∥(βW​βf​)t−k​

上式的$\beta$β定义为矩阵的摸的上界。因为上式是一个指数函数，如果$t-k$t−k很大的话（也就是向前看很远的时候），会导致对应的误差项的值增长或缩小得非常快，这样就会导致相应的梯度爆炸和梯度消失问题（取决于$\beta$β大于1还是小于1）。

通常来说，梯度爆炸更容易处理一些。因为梯度爆炸的时候，运行代码会收到$NaN$NaN错误。我们也可以设置一个梯度阈值，当梯度超过这个阈值的时候可以直接截取。

梯度消失更难检测，而且也更难处理一些。总的来说，我们有三种方法应对梯度消失问题：

• 1.合理的初始化权重值。初始化权重，使每个神经元尽可能不要取极大或极小值，以避开梯度消失的区域；
• 2.使用$relu$relu代替$sigmoid$sigmoid和$tanh$tanh作为**函数。原理之前的文章里已有所提及；
• 3.使用其他结构的$RNNs$RNNs，比如长短时记忆网络(LSTM)和Gated Recurrent Unit（GRU），这是最流行的网络结构。我们将在后续内容介绍这两种网络。

1.4 $RNN$RNN的应用举例——基于$RNN$RNN的语言模型

现在，引入一个例子，开篇提过的语言模型，不过现在是基于$RNN$RNN的语言模型。我们首先把词依次输入到循环神经网络中，每输入一个词，循环神经网络就输出截止目前为止，下一个最有可能的词。如，当我们依次输入：

我 昨天 上学 迟到 了

神经网络的输出如下图所示：

图中，$s$s和$e$e是两个特殊的词，分别表示一个序列的开始和结束。

神经网络的输入和输出都是向量，为了让语言模型能够被神经网络处理，我们必须把词表达为向量的形式，这样神经网络才能处理它。

1.4.1 向量化

神经网络的输入是词，我们可以用以下步骤对输入进行向量化：

1.建立一个包含所有词的词典，每个词在词典里面有一个唯一的编号；

2.任意一个词都可以用一个$N$N维的$one-hot$one−hot向量来表示。其中，$N$N是词典中包含的词的个数。假设一个词在词典中的编号是$i$i，$v$v是这个词的向量，$v_j$vj​是向量的第$j$j元素，则：

​ $v_j= \begin{cases} 1 && j=i\\ 0 && j\neq i\\ \end{cases}$vj​={10​​j=ij​=i​

上面这个公式的含义，可以用下面的图来直观的表示：

使用这种向量化方法，我们就得到了一个高维、稀疏的向量（稀疏是指绝大部分元素的值都是0）。处理这样的向量会导致我们的神经网络有很多的参数，带来庞大的计算量。因此，往往会需要使用一些降维方法，将高维的稀疏向量转变为低维的稠密向量。

不过这个话题我们就不再这篇文章中讨论了。

语言模型要求的输出是下一个最可能的词，我们可以让循环神经网络计算计算词典中每个词是下一个词的概率，这样，概率最大的词就是下一个最可能的词。因此，神经网络的输出向量也是一个$N$N维向量，向量中的每个元素对应着词典中相应的词是下一个词的概率。如下图所示：

前面提到，语言模型是对下一个词出现的概率进行建模。那么，怎样让神经网络输出概率呢？方法就是用$softmax$softmax层作为神经网络的输出层。

1.4.2 $Softmax$Softmax层

我们先来看一下$softmax$softmax函数的定义：

​ $g(z_i)=\frac{e^{z_i}}{\Sigma_ke^{z_k}}$g(zi​)=Σk​ezk​ezi​​

这个公式看起来可能很晕，举例说明一下，$Softmax$Softmax层如下图所示：

从上图我们可以看到，$Softmax$Softmax $layer$layer的输入是一个向量，输出也是一个向量，两个向量的维度是一样的（在这个例子里面是4）。输入向量x=[1 2 3 4]经过$softmax$softmax层之后，经过上面的$softmax$softmax函数计算，转变为输出向量y=[0.03 0.09 0.24 0.64]。计算过程为：

​ $y_1=\frac{e^{x_1}}{\Sigma_ke^{x_k}}=\frac{e^1}{e^1+e^2+e^3+e^4}=0.03$y1​=Σk​exk​ex1​​=e1+e2+e3+e4e1​=0.03

​ $y_2=\frac{e^2}{e^1+e^2+e^3+e^4}=0.09$y2​=e1+e2+e3+e4e2​=0.09

​ $y_3=\frac{e^3}{e^1+e^2+e^3+e^4}=0.24$y3​=e1+e2+e3+e4e3​=0.24

​ $y_4=\frac{e^4}{e^1+e^2+e^3+e^4}=0.64$y4​=e1+e2+e3+e4e4​=0.64

总结一下输出向量$y$y的特征：

1.每一项为取值为0-1之间的正数；

2.所有项的总和为1。

不难发现，这些特征和概率的特征是一样的，因此我们可以把它们看做是概率。对于语言模型来说，我们可以认为模型预测下一个词是词典中第一个词的概率是0.03，是词典中第二个词的概率是0.09，以此类推。

1.4.3 语言模型的训练

可以使用监督学习的方法对语言模型进行训练，首先，需要准备训练数据集。接下来，我们介绍怎样把语料转换成语言模型的训练数据集。

我 昨天 上学 迟到 了

首先，我们获取输入-标签对：

输入	标签
s	我
我	昨天
昨天	上学
上学	迟到
迟到	了
了	e

然后，使用前面介绍过的向量化方法，对输入x和标签y进行向量化。这里面有意思的是，对标签y进行向量化，其结果也是一个one-hot向量。例如，我们对标签『我』进行向量化，得到的向量中，只有第2019个元素的值是1，其他位置的元素的值都是0。它的含义就是下一个词是『我』的概率是1，是其它词的概率都是0。

最后，我们使用交叉熵误差函数作为优化目标，对模型进行优化。

注：在实际工程中，我们可以使用大量的语料来对模型进行训练，获取训练数据和训练的方法都是相同的。

1.4.4 交叉熵误差

一般来说，当神经网络的输出层是$Softmax$Softmax层时，对应的误差函数E通常选择交叉熵误差函数，其定义如下：

​ $L(y,o)=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_n$L(y,o)=−N1​Σn∈N​yn​logon​

在上式中，$N$N是训练样本的个数，向量$y_n$yn​是样本的标记，向量$o_n$on​是网络的输出。标记$y_n$yn​是一个one-hot向量，例如$y_1=[1,0,0,0]$y1​=[1,0,0,0]，如果网络的输出$o=[0.03,0.09,0.24,0.64]$o=[0.03,0.09,0.24,0.64]，那么，交叉熵误差是（假设只有一个训练样本，即N=1）：

​ $\begin{aligned}L(y,o) &=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_n \\ &= -y_1logo_1 \\ &= -(1*log0.03+0*log0.09+0*log0.24+0*log0.64) \\ &= 3.51 \end{aligned}$L(y,o)​=−N1​Σn∈N​yn​logon​=−y1​logo1​=−(1∗log0.03+0∗log0.09+0∗log0.24+0∗log0.64)=3.51​

我们当然可以选择其他函数作为我们的误差函数，比如最小平方误差函数(MSE)。不过对概率进行建模时，选择交叉熵误差函数更make sense。具体原因，感兴趣的读者请阅读参考文献5。

1.5 小结

上述文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。同时也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本部分，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络($LSTM$LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的$RNN$RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，$LSTM$LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把$LSTM$LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚$LSTM$LSTM之后，我们再介绍一种$LSTM$LSTM的变体：$GRU$GRU。 它的结构比$LSTM$LSTM简单，而效果却和$LSTM$LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。

1.6 什么是$LSTM$LSTM网络？

1.6.1 普通$RNN$RNN回顾

前述文中介绍了很多$RNN$RNN的内容，涉及很多公式计算，该部分以图片形式简要回顾一下，普通$RNN$RNN的主要形式如下图所示：

图中，

$x$x为当前状态下数据的输入，$h$h表示接收到的上一个节点的输入。

$y$y为当前节点状态下的输出，而$h'$h′为传递到下一个节点的输出。

通过上图的公式可以看到，输出$h'$h′与$x$x和$h$h的值都相关。

而$y$y则常常使用$h'$h′投入到一个线性层（主要是进行维度映射）然后使用$softmax$softmax进行分类得到需要的数据。

对这里的$y$y如何通过$h'$h′计算得到往往看具体模型的使用方式。

通过序列形式的输入，我们能够得到如下形式的$RNN$RNN:

1.6.2 $LSTM$LSTM-特殊的$RNN$RNN

长短期记忆（$LSTM$LSTM）是一种特殊的$RNN$RNN，主要是为了解决长序列训练过程中的梯度消失和梯度爆炸问题。简单来说，就是相比普通的$RNN$RNN，$LSTM$LSTM能够在更长的序列中有更好的表现。

$LSTM$LSTM结构（图右）和普通$RNN$RNN的主要输入输出区别如下所示。

相比$RNN$RNN只有一个传递状态$h^t$ht ，$LSTM$LSTM有两个传输状态，一个$c^t$ct （cell state），和一个 $h^t$ht（hidden state）。（$Tips：RNN$Tips：RNN中的$h^t$ht对于$LSTM$LSTM中的$c^t$ct）

其中对于传递下去的$c^t$ct改变得很慢，通常输出的$c^t$ct是上一个状态传过来的$c^{t-1}$ct−1加上一些数值。

而$h^t$ht则在不同节点下往往会有很大的区别。

1.6.3 深入$LSTM$LSTM结构

下面具体对$LSTM$LSTM的内部结构来进行剖析。

首先使用$LSTM$LSTM的当前输入$x^t$xt和上一个状态传递下来的$h^{t-1}$ht−1拼接训练得到四个状态。

其中，$z^f$zf，$z^i$zi，$z^o$zo是由拼接向量乘以权重矩阵之后，再通过一个$sigmoid$sigmoid**函数转换成0到1之间的数值，来作为一种门控状态。而$z$z则是将结果通过一个$tanh$tanh**函数将转换成-1到1之间的值（这里使用$tanh$tanh是因为这里是将其做为输入数据，而不是门控信号）。

下面开始进一步介绍这四个状态在$LSTM$LSTM内部的使用：

注：$\odot$⊙是Hadamard Product，也就是操作矩阵中对应的元素相乘，因此要求两个相乘矩阵是同型的。$\oplus$⊕则代表进行矩阵加法。

$LSTM$LSTM内部主要有三个阶段：

1. 忘记阶段。这个阶段主要是对上一个节点传进来的输入进行选择性忘记。简单来说就是会 “忘记不重要的，记住重要的”。具体来说是通过计算得到的$z^f$zf（$f$f表示$forget$forget）来作为忘记门控，来控制上一个状态的$c^{t-1}$ct−1哪些需要留哪些需要忘。

2. 选择记忆阶段。这个阶段将这个阶段的输入有选择性地进行“记忆”。主要是会对输入 $x^t$xt进行选择记忆。哪些重要则着重记录下来，哪些不重要，则少记一些。当前的输入内容由前面计算得到的表$z$z示。而选择的门控信号则是由$z^i$zi（$i$i代表$information$information）来进行控制。

将上面两步得到的结果相加，即可得到传输给下一个状态的$c^t$ct。也就是上图中的第一个公式。

3. 输出阶段。这个阶段将决定哪些将会被当成当前状态的输出。主要是通过$z^o$zo来进行控制的。并且还对上一阶段得到进的$c^o$co（通过一个$tanh$tanh**函数进行变化）。

与普通$RNN$RNN类似，输出$y^t$yt往往最终也是通过$h^t$ht变化得到。

1.6.4 小结

以上，就是$LSTM$LSTM的内部结构。通过门控状态来控制传输状态，记住需要长时间记忆的，忘记不重要的信息；而不像普通的$RNN$RNN那样只能够“呆萌”地仅有一种记忆叠加方式。对很多需要“长期记忆”的任务来说，尤其好用。

但也因为引入了很多内容，导致参数变多，也使得训练难度加大了很多。因此很多时候我们往往会使用效果和$LSTM$LSTM相当但参数更少的$GRU$GRU来构建大训练量的模型。

1.7 什么是$GRU$GRU网络？

1.7.1 为什么需要$GRU$GRU？

$GRU$GRU（$Gate Recurrent Unit$GateRecurrentUnit）是$RNN$RNN的一种。和$LSTM$LSTM一样，也是为了解决长期记忆和反向传播中的梯度等问题而提出来的。

$GRU$GRU和$LSTM$LSTM在很多情况下实际表现上相差无几，那么为什么我们要使用新人$GRU$GRU（2014年提出）而不是相对经受了更多考验的$LSTM$LSTM（1997提出）呢?

引用论文中的一段话来说明$GRU$GRU的优势所在:

我们在我们的实验中选择$GRU$GRU是因为它的实验效果与$LSTM$LSTM相似，但是更易于计算。

简单来说就是贫穷限制了我们的计算能力…

相比$LSTM$LSTM，使用$GRU$GRU能够达到相当的效果，并且相比之下更容易进行训练，能够很大程度上提高训练效率，因此很多时候会更倾向于使用$GRU$GRU。

OK，那么为什么说$GRU$GRU更容易进行训练呢，下面开始介绍一下$GRU$GRU的内部结构。

1.7.2 $GRU$GRU的输入输出结构

$GRU$GRU的输入输出结构与普通的$RNN$RNN是一样的，如下图所示：

有一个当前的输入$x^t$xt，和上一个节点传递下来的隐状态$h^{t-1}$ht−1（hidden state)），这个隐状态包含了之前节点的相关信息。

结合$x^t$xt和$h^{t-1}$ht−1，$GRU$GRU会得到当前隐藏节点的输出$y^t$yt和传递给下一个节点的隐状态$h^t$ht。

那么，$GRU$GRU到底有什么特别之处呢？下面来对它的内部结构进行分析！

1.7.3 $GRU$GRU的内部结构

$GRU$GRU的内部结构如下图所示：

注：$\odot$⊙是Hadamard Product，也就是操作矩阵中对应的元素相乘，因此要求两个相乘矩阵是同型的。$\oplus$⊕则代表进行矩阵加法。

首先，我们先通过上一个传输下来的状态$h^{t-1}$ht−1和当前节点的输入$x^t$xt来获取两个门控状态。如下图，其中$r$r控制重置的门控(reset gate)，$z$z为控制更新的门控(update gate)。

Tips:$\delta$δ为$sigmoid$sigmoid函数，通过这个函数可以将数据变换为0-1范围内的数值，从而来充当门控信号。

与$LSTM$LSTM分明的层次结构不同，下面将对$GRU$GRU进行一气呵成的介绍~~~ 请大家屏住呼吸，不要眨眼。

得到门控信号之后，首先使用重置门控来得到**“重置”之后的数据$h'^{t-1}=h^{t-1}\odot r$h′t−1=ht−1⊙r ，再将 $h'^{t-1}$h′t−1与输入$x^t$xt进行拼接，再通过一个$tanh$tanh**函数来将数据放缩到-1~1**的范围内。即得到如下图所示的$h'$h′。

这里的$h'$h′主要是包含了当前输入的$x^t$xt数据。有针对性地对$h'$h′添加到当前的隐藏状态，相当于“记忆了当前时刻的状态”，类似于LSTM的选择记忆阶段 。

最后介绍$GRU$GRU最关键的一个步骤，我们可以称之为**”更新记忆“**阶段。

在这个阶段，我们同时进行了遗忘了记忆两个步骤。我们使用了先前得到的更新门控$z$z（update gate）。

更新表达式：$h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h'$ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′

首先再次强调一下，门控信号（这里的$z$z）的范围为0~1。门控信号越接近1，代表“记忆”下来的数据越多；而越接近0则代表“遗忘”的越多。

$GRU$GRU很聪明的一点就在于，我们使用了同一个门控$z$z就同时可以进行遗忘和选择记忆（$LSTM$LSTM则要使用多个门控）。

• $z\odot h^{t-1}$z⊙ht−1 ：表示对原本隐藏状态的选择性“遗忘”。这里的$z$z可以想象成遗忘门（forget gate），忘记$h^{t-1}$ht−1维度中一些不重要的信息。
• $(1-z)\odot h'$(1−z)⊙h′ ： 表示对包含当前节点信息的进$h'$h′行选择性“记忆”。与上面类似，这里的$(1-z)$(1−z)同理会忘记$h'$h′维度中的一些不重要的信息。或者，这里我们更应当看做是对$h'$h′维度中的某些信息进行选择。
• $h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h'$ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′ ：结合上述，这一步的操作就是忘记传递下来的$h^{t-1}$ht−1中的某些维度信息，并加入当前节点输入的某些维度信息。

可以看到，这里的遗忘$z$z和选择是$(1-z)$(1−z)联动的。也就是说，对于传递进来的维度信息，我们会进行选择性遗忘，即遗忘了多少权重$(z)$(z)，我们就会使用包含当前输入的 $h'$h′中所对应的权重进行弥补$(1-z)$(1−z)。以保持一种”恒定“状态。

1.7.4 $LSTM$LSTM与$GRU$GRU的关系

$GRU$GRU是在2014年提出来的，而$LSTM$LSTM是1997年。它们的提出都是为了解决相似的问题，那么$GRU$GRU难免会参考$LSTM$LSTM的内部结构。那么他们之间的关系大概是怎么样的呢？这里简单介绍一下。

大家看到$r$r(reset gate)实际上与它的名字有点不符。我们仅仅使用它来获得了$h'$h′。

那么这里的$h'$h′实际上可以看成对应于$LSTM$LSTM中的hidden state；上一个节点传下来的则$h^{t-1}$ht−1对应于$LSTM$LSTM中的cell state。$z$z对应的则是$LSTM$LSTM中的$z^f$zf forget gate，那么我$(1-z)$(1−z)们似乎就可以看成是选择门$z^i$zi了。

1.7.5 小结

$GRU$GRU输入输出的结构与普通的$RNN$RNN相似，其中的内部思想与$LSTM$LSTM相似。

与$LSTM$LSTM相比，$GRU$GRU内部少了一个”门控“，参数比$LSTM$LSTM少，但是却也能够达到与$LSTM$LSTM相当的功能。考虑到硬件的计算能力和时间成本，因而很多时候我们也就会选择更加“实用”的$GRU$GRU。

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参考文献

[1] 李宏毅，Deep Learning Tutorial，2018

[2] $RNN$RNN: https://zybuluo.com/hanbingtao/note/541458

[3] $LSTM$LSTM: https://zhuanlan.zhihu.com/p/32085405

[4] GRU: https://zhuanlan.zhihu.com/p/32481747

[5] https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2011/12/17/neural-network-classification-categorical-data-softmax-activation-and-cross-entropy-error/