SLAM学习笔记（一) 李群李代数基础

第二次翻看《视觉SLAM十四讲》，发现第一次看过的都忘记了，认真分析了一下，我认为是第一次学习没有弄清楚整体的脉络。因此这次做一个小小的总结，希望不要再过几天又忘掉。

首先，旋转矩阵是一个正交矩阵，它与自己的转置的乘积是单位矩阵。另外它还是关于时间的函数。

每次对R(t)求导，相当于将其左乘一个Φ(t)^,其中Φ(t)是一个三维向量，Φ(t)^为其对应的反对称矩阵。即满足如下关系式：

R(t)=exp(Φ0^t)

Φt即为R(t)对应的李代数。R(t)作为李群，是具有光滑连续性质的群，有封结幺逆性质。

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封是两个元素都属于群，那么乘积也属于群；

结是结合律；

幺元是群中至少有一个元素，别的元素与其相乘都是自身；

逆是对于所有群中的元素，群中至少有一个元素，与其他元素相乘都得到一个固定的元素

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1.每个李群有其对应的李代数。李代数是向量，反映的是李群的局部性质。例如上面，so(3)就反应了SO(3)的局部导数性质。

2.两个向量还有李括号运算，即a的^和b的^的乘积减去b的^和a的^，最后括起来，再用"v"变成一个向量。

3.指数映射，即exp(Φ^)泰勒展开，然后把Φ当成是θa的乘积，（θ是模长，a是方向)，算的算的就会发现满足罗德里格斯公式，即书上的4.22公式。

罗德里格斯公式描述的是旋转矩阵R和旋转向量的关系，这里算出来的左边的exp(Φ^)其实也是旋转矩阵，

因此说明李代数so(3)其实就是旋转向量组成的空间，指数映射就是罗德里格斯公式。

4.对数映射，即反过来，求ln(R),然后再加个"v"操作，变成向量。这样李群SO3就能转化成李代数so3。不过这样太麻烦了，实际计算可以用迹的那个公式算。

5.整理一个图片：

6.扰动模型：

虽然李群和李代数满足的是这种指数关系，但是这里是矩阵，也就是说(e的a次方)乘以(e的b次方)结果并不等于e的a+b次方。

因此BCH公式就是说，当处理两个矩阵指数之积的时候，会产生一些李括号构成的余项。

例子：某个旋转R，对应李代数Φ，左乘一个微小旋转△R，对应的李代数△Φ，

那么李群就是直接相乘△R·R，而李代数不是直接相加，而是Φ+J(下标l，上标-1，自变量Φ)△Φ。

下标l是左乘，如果右乘就是r（即Jl的自变量Φ取反），上标-1是雅克比矩阵J的逆运算。J其实就是SE(3)和se（3）转换时候的那个J，就是上面那个图里的J。

7.李代数解决求导问题，原因是：

z=Tp+w，T是位姿，p世界坐标系下的点，w是噪声。

根据很多个点，构建误差最小化：

   

即构建与位姿有关的函数，讨论该函数关于位姿的导数，调整估计值。

因此是两种思路：

（1）用李代数表示姿态。根据李代数加法来对李代数求导；

  (2)   用李群表示姿态，左右乘以微小扰动，对该扰动求导。

第一种思路，是要用Rp对R来求偏导，构建的方程为：

exp(Φ^)p对Φ求偏导，根据定义，加一个小量δΦ，exp(（Φ+δΦ）^)p-exp(Φ^)p，再对小量δΦ求偏导。把exp(（Φ+δΦ）^)p拆成两项，多一个雅克比矩阵出来，然后泰勒展开，把反对称符号看做叉积，交换变号，最后得到的结果是（-Rp）^JL。

用这种方式求出来的结果，带一个雅克比矩阵，不太方便计算。

第二种思路，是对R进行扰动，左乘一个△R，对应李代数ψ。Rp对ψ求偏导，那么式子变成exp(ψ^)exp(Φ^)p-exp(Φ^) 对ψ求偏导，exp(ψ^)泰勒展开，乘进去约掉，最后交换变号，得到（-Rp）^，省去了一个求解雅克比矩阵的步骤。

不过两种思路的区别是，一个是对R本身的李代数Φ求偏导，一个是对乘以的小量扰动△R的李代数ψ求偏导。

对于SE3，扰动也是同样的意思，最后得到的结果是，下面都是0，左上角是I，右上角是-(Rp+t)^,记为Tp⊙

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不过这时的^不再是反对称矩阵的意思了，而是一个矩阵，

Φ^ ，ρ

0,      0

（对应的李代数是 [ρ，Φ]T）