离散信号（三） | 时域运算性质 （差分、卷积）

离散信号的时域运算

离散信号的时域运算包括平移、翻转、相加、相乘、累加、差分、时间尺度变换、卷积和及相关运算等。

（一）平移

如果有序列$x(n)$x(n)，当m为正时，$x(n-m)$x(n−m)是指序列$x(n)$x(n)逐项依次延时（右移）m位得到的一个新序列，而$x(n+m)$x(n+m)则指依次超前（左移）m位。m为负时，则相反。

（二）翻转

如果有序列$x(n)$x(n)，则$x(-n)$x(−n)是以纵轴为对称轴将序列$x(n)$x(n)加以翻转得到的新序列。

（三）累加

如果有序列$x(n)$x(n)，则$x(n)$x(n)的累加序列$y(n)$y(n)为
$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$y(n)=k=−∞∑n​x(k)
它表示$y(n)$y(n)在$n_0$n0​上的值等于$n_0$n0​上及$n_0$n0​以前所有$x(n)$x(n)值之和。

（四）差分运算

如果有序列$x(n)$x(n)，则$x(n)$x(n)的前向差分和后向差分分别为

前向差分
$\Delta x(n)=x(n+1)-x(n)$Δx(n)=x(n+1)−x(n)
后向差分
$\nabla x(n)=x(n)-x(n-1)$∇x(n)=x(n)−x(n−1)
由此可得出
$\nabla x(n)=\Delta x(n-1)$∇x(n)=Δx(n−1)
（五）时间尺度（比例）变换

对某序列$x(n)$x(n)，其时间尺度变换序列为$x(mn)$x(mn)或$x(\frac{n}{m})$x(mn​)，其中m为正整数。

以$m=2$m=2的$x(2n)$x(2n)为例。$x(2n)$x(2n)不是像连续信号那样将$x(n)$x(n)序列简单地在时间轴上按比例地压缩为原来一半，而是采样频率降低为原来的一半，即从$x(n)$x(n)中每隔2点取1点。如果把$x(n)$x(n)看作是连续时间信号$x(t)$x(t)按采样间隔T的采样，则$x(2n)$x(2n)相当于将采样间隔从T增加到2T，即
$x(2n)=x(t)|_{t=n2T}$x(2n)=x(t)∣t=n2T​
这种运算也称为抽取，即$x(2n)$x(2n)是$x(n)$x(n)的抽取序列。$x(n)$x(n)及$x(2n)$x(2n)分别如下图所示。

同样地，$x(\frac{n}{2})=x(t)|_{t=nT/2}$x(2n​)=x(t)∣t=nT/2​表示采样间隔由T变成了$\frac{T}{2}$2T​，也可将$x(\frac{n}{2})$x(2n​)称为是$x(n)$x(n)的插值序列。

（六）卷积和

设两序列为$x(n)$x(n)和$h(n)$h(n)，则$x(n)$x(n)和$h(n)$h(n)的卷积和定义为
$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=x(n)*h(n)$y(n)=m=−∞∑∞​x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
（七）两序列相关运算

两序列相关运算定义为
$R_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n+m)$Rxy​(m)=n=−∞∑∞​x(n)y(n+m)
与离散信号卷积运算的关系为
$R_{xy}(m)=x(m)*y(-m)$Rxy​(m)=x(m)∗y(−m)
当$y(n)=x(n)$y(n)=x(n)时，有自相关序列
$R_{xx}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n+m)=x(m)*x(-m)$Rxx​(m)=n=−∞∑∞​x(n)x(n+m)=x(m)∗x(−m)
当m=0时，它表示了序列的总能量
$R_{xx}(0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2(n)$Rxx​(0)=n=−∞∑∞​x2(n)