内容概述

本节首先以$\mathbb{R}^2$R2和$\mathbb{R}^3$R3空间为例，引入了向量的概念、向量的几何表示，并介绍了向量的一些基本运算和性质，例如向量的加法和标量乘法、交换律、结合律等。接着引入了线性组合的概念，并将线性组合和线性方程组结合了起来。

$\mathbb{R}^2$R2中的向量

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。举例如下：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1 \\2 \end{bmatrix}$u=[12​]， $\boldsymbol v = \begin{bmatrix}0.2 \\0.3 \end{bmatrix}$v=[0.20.3​]
所有两个元素的向量的集记为$\mathbb{R}^2$R2，$\mathbb{R}$R表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
$\mathbb{R}^2$R2中两个向量相等当且仅当其对应元素相等，因为$\mathbb{R}^2$R2中的向量是实数的有序对。

给定$\mathbb{R}^2$R2中两个向量$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v，它们的和$\boldsymbol u+\boldsymbol v$u+v是把$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v对应元素相加所得的向量。例如，$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}$u=[12​]和$\boldsymbol v = \begin{bmatrix}2\\ 5 \end{bmatrix}$v=[25​]两个向量的和是$\boldsymbol w = \begin{bmatrix}3\\ 7 \end{bmatrix}$w=[37​]

给定向量$\boldsymbol u$u和实数$c$c，$\boldsymbol u$u与$c$c的标量乘法是把$\boldsymbol u$u的每个元素乘以$c$c，所得向量记为$c \boldsymbol u$cu。
例如，
若
$\boldsymbol u=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad c = 5$u=[3−1​],c=5
则
$c \boldsymbol u = 5\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15 \\ -5 \end{bmatrix}$cu=5[3−1​]=[15−5​]

$\mathbb{R}^2$R2的几何表示

因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把集合点$(a, b)$(a,b)与列向量$\begin{bmatrix} \boldsymbol a \\ \boldsymbol b \end{bmatrix}$[ab​]等同。因此，可把$\mathbb{R}^2$R2看作平面上所有点的集合。
若$\mathbb{R}^2$R2中向量$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v用平面上的点表示，则$\boldsymbol u + \boldsymbol v$u+v对应于以$\boldsymbol u$u, $\boldsymbol 0$0和$\boldsymbol v$v为三个顶点的平行四边形的第4个顶点。

$\mathbb{R}^3$R3中的向量

$\mathbb{R}^3$R3中的向量是$3 \times 1$3×1列矩阵，有3个元素，它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头。

$\mathbb{R}^n$Rn中的向量

若$n$n是正整数，则$\mathbb{R}^n$Rn表示所有$n$n个实数数列（或有序$n$n元组）的集合，通常写成$n \times1$n×1列矩阵的形式，如：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ ... \\ u_n \end{bmatrix}$u=⎣⎢⎢⎡​u1​u2​...un​​⎦⎥⎥⎤​
所有元素都是零的向量称为零向量，用$\boldsymbol 0$0表示（$\boldsymbol 0$0中元素的个数可由上下文确定。）
下列是$\mathbb{R}^n$Rn中向量的代数性质：

$\boldsymbol u + \boldsymbol v$u+v = $\boldsymbol v + \boldsymbol u$v+u
$(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)$(u+v)+w=u+(v+w)
$\boldsymbol u + \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0 + \boldsymbol u = \boldsymbol u$u+0=0+u=u
$\boldsymbol u + (\boldsymbol {-u}) = -\boldsymbol u + \boldsymbol u = \boldsymbol 0$u+(−u)=−u+u=0
$c(\boldsymbol u +\boldsymbol v) = c\boldsymbol u + c\boldsymbol v$c(u+v)=cu+cv
$(c + d)\boldsymbol u = c\boldsymbol u + d\boldsymbol u$(c+d)u=cu+du
$c(d\boldsymbol u) = (cd)\boldsymbol u$c(du)=(cd)u
$1\boldsymbol u = \boldsymbol u$1u=u

线性组合

给定 $\mathbb{R}^n$Rn中向量$\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$v1​,v2​,⋯,vp​和标量$c_1, c_2,\cdots, c_p$c1​,c2​,⋯,cp​，向量
$\boldsymbol y=c\boldsymbol v_1 + \cdots +c_p\boldsymbol v_p$y=cv1​+⋯+cp​vp​
称为向量以$c_1, c_2,\cdots, c_p$c1​,c2​,⋯,cp​为权的线性组合。
从几何上来说，线性组合可以认为是不同向量拉伸和压缩之后的和。

下面的例子把线性组合与前面几节（1.1节、1.2节）的存在性问题联系起来。
设$\boldsymbol a_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -5\end{bmatrix}$a1​=⎣⎡​1−2−5​⎦⎤​，$\boldsymbol a_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$a2​=⎣⎡​256​⎦⎤​，$\boldsymbol b = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ -3\end{bmatrix}$b=⎣⎡​74−3​⎦⎤​，确定$\boldsymbol b$b能否写成$\boldsymbol a_1$a1​和$\boldsymbol a_2$a2​的线性组合，也就是说，确定是否存在$x_1$x1​和$x_2$x2​，使得
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 = \boldsymbol b$x1​a1​+x2​a2​=b
若该向量方程有解，求它的解。
解：该向量方程可以写为：
$\begin{bmatrix}x_1 + 2x_2 \\-2x_1 + 5x_2 \\-5x_1 + 6x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\4 \\-3\end{bmatrix}$⎣⎡​x1​+2x2​−2x1​+5x2​−5x1​+6x2​​⎦⎤​=⎣⎡​74−3​⎦⎤​
写成矩阵形式为：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \end{bmatrix}$⎣⎡​1−2−5​256​74−3​⎦⎤​
化为简化阶梯形为：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​320​⎦⎤​
其解是$x_1 = 3, x_2 = 2$x1​=3,x2​=2，因此$\boldsymbol b$b是$\boldsymbol a_1$a1​与$\boldsymbol a_2$a2​的线性组合，权为：$x_1=3$x1​=3和$x_2=2$x2​=2。

由上例可以得到如下的结论：

向量方程：
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 + \cdots + x_n\boldsymbol a_n = \boldsymbol b$x1​a1​+x2​a2​+⋯+xn​an​=b
和增广矩阵为：
$[\boldsymbol a_1\quad \boldsymbol a_2\quad \boldsymbol \cdots \quad \boldsymbol a_n \quad \boldsymbol b]$[a1​a2​⋯an​b]
的线性方程组有相同的解集。特别的，$\boldsymbol b$b可表示为$\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \boldsymbol \cdots, \boldsymbol a_n$a1​,a2​,⋯,an​的线性组合当且仅当对应于上述线性方程组有解。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合$\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n\}${v1​,v2​,⋯,vn​}的线性组合的所有向量。

张成的向量集合

定义：

若$\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$v1​,v2​,⋯,vn​是$\mathbb{R}^n$Rn中的向量，则$\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$v1​,v2​,⋯,vn​的所有线性组合所成的集合用记号$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}表示，称为由$\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$v1​,v2​,⋯,vn​所生成（或张成）的$\mathbb{R}^n$Rn的子集。也就是说，$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}是所有形如
$c_1\boldsymbol v_1 + c_2\boldsymbol v_2 + \cdots + c_p\boldsymbol v_P$c1​v1​+c2​v2​+⋯+cp​vP​
的向量的集合，其中$c_1, c_2, \cdots, + c_p$c1​,c2​,⋯,+cp​为标量。

要判断向量$\boldsymbol b$b是否属于$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判断方程
$x_1\boldsymbol v_1 + x_2\boldsymbol v_2 + \cdots + x_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol b$x1​v1​+x2​v2​+⋯+xp​vp​=b
是否有解，或等价的，判断增广矩阵KaTeX parse error: Got function '\hskip' with no arguments as argument to '\boldsymbol' at position 1: \̲h̲s̲k̲i̲p̲1em\relax的线性方程组是否有解。

由以上定义，得出两个结论：

1. $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}包含$\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$v1​,v2​,⋯,vp​中任意一个向量的倍数。以$\boldsymbol v_1$v1​为例，用$c\boldsymbol v_1$cv1​表示任意$\boldsymbol v_1$v1​的倍数，那么因为$c\boldsymbol v_1 = c\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$cv1​=cv1​+0v2​+⋯+0vp​，所以该结论成立。
2. $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$Span{v1​,v2​,⋯,vp​}一定包含$\boldsymbol 0$0向量。这时由于$\boldsymbol 0 = 0\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$0=0v1​+0v2​+⋯+0vp​。

$Span\{\boldsymbol v\}$Span{v}与$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}的几何解释

假设$\boldsymbol v$v是$\mathbb{R}^3$R3中的向量，那么$Span\{\boldsymbol v\}$Span{v}就是$\boldsymbol v$v的所有标量倍数的集合，也就是$\mathbb{R}^3$R3中通过$\boldsymbol v$v和$\boldsymbol 0$0的直线上所有点的集合。

若$\boldsymbol u$u和$\boldsymbol v$v是$\mathbb{R}^3$R3中的非零向量，$\boldsymbol v$v不是$\boldsymbol u$u的倍数，则$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}是$\mathbb{R}^3$R3中包含$\boldsymbol u$u,$\boldsymbol v$v和$\boldsymbol 0$0的平面。特别的，$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}包含$\mathbb{R}^3$R3中通过$\boldsymbol u$u与$\boldsymbol 0$0的直线，也包含通过$\boldsymbol v$v与$\boldsymbol 0$0的直线（由上面的结论也可以得知这一点）。

还有一点需要注意的是，虽然$Span\{\boldsymbol v\}$Span{v}只是一条线，$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}只是一个平面，但并不是说$Span\{\boldsymbol v\}$Span{v}就属于$\mathbb{R}^1$R1，$Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$Span{u,v}就属于$\mathbb{R}^2$R2了，它们仍属于$\mathbb{R}^3$R3，是$\mathbb{R}^3$R3的一个子集而已。

在实际应用中向量和向量组合的意义

设公司生产两种产品，对于1美元价值的产品$B$B，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用。对1美元价值的产品$C$C，公司耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设：
$\boldsymbol b = \begin{bmatrix} 0.45 \\ 0.25 \\ 0.15 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol c = \begin{bmatrix} 0.40 \\ 0.30 \\ 0.15 \end{bmatrix}$b=⎣⎡​0.450.250.15​⎦⎤​,c=⎣⎡​0.400.300.15​⎦⎤​
则$\boldsymbol b$b和$\boldsymbol c$c称为两种产品的“单位美元产出成本”。

• 向量$100\boldsymbol b$100b的经济解释是生产100美元的产品$B$B需要的各种成本，即45美元材料、25美元劳动、15美元管理费用。
• 如果公司希望生产$x_1$x1​美元产品$B$B和$x_2$x2​美元产品$C$C，那么公司花费的总成本是$x_1\boldsymbol b_1 + x_2\boldsymbol b_2$x1​b1​+x2​b2​

由这个例子，可以体悟到，$\mathbb{R}^n$Rn中的$n$n，也就是维度，可以代表现实中事物的不同方面（或者成分）。不同的向量可以代表做一件简单事情（或称基本事件，元事件）时，各个方面是如何配合的。而这些向量的组合（也是一个向量），又可以代表做一件复杂的事情时，如何由元事件搭配起来。