主要内容

本节首先引入了坐标系的概念，利用子空间的一组基，将子空间的任意一个向量用这组基来表示。接着引入了子空间的维数的概念，其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数（也称作秩）和子空间的维数。

坐标系

根据上一节的定义，子空间$H$H中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的，所以$H$H中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。
证：

假设$\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}$β={b1​,⋯,bp​}是$H$H的基，$H$H中的一个向量$\boldsymbol x$x可以由两种方式生成，设：
$\boldsymbol x=c_1\boldsymbol b_1 + \cdots+c_p\boldsymbol b_p$x=c1​b1​+⋯+cp​bp​
$\boldsymbol x = d_1\boldsymbol b_1 + \cdots + d_p\boldsymbol b_p$x=d1​b1​+⋯+dp​bp​
两式相减得：
$\boldsymbol 0 = (c_1 - d_1)\boldsymbol b_1 + \cdots + (c_p - d_p)\boldsymbol b_p$0=(c1​−d1​)b1​+⋯+(cp​−dp​)bp​
由于$\beta$β是线性无关的，所以上式中的系数必全为0，因此$H$H中的一个向量只能通过基的唯一组合进行表示。

定义：

假设$\beta = \{\boldsymbol b1,\cdots,\boldsymbol b_p\}$β={b1,⋯,bp​}是子空间$H$H的一组基，对$H$H中的每一个向量$\boldsymbol x$x，相对于基$\beta$β的坐标是使$\boldsymbol x = c_1\boldsymbol b_1 + \cdots + c_p\boldsymbol b_p$x=c1​b1​+⋯+cp​bp​成立的权$c_1, \cdots, c_p$c1​,⋯,cp​，其$\mathbb R^p$Rp中的向量
${[\boldsymbol x]}_\beta = \begin{bmatrix}c_1 \\ ... \\ c_p\end{bmatrix}$[x]β​=⎣⎡​c1​...cp​​⎦⎤​
称为$\boldsymbol x$x（相对于$\beta$β）的坐标向量，或$\boldsymbol x$x的$\beta-$β−坐标向量。

例：

设$\boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix}$v1​=⎣⎡​362​⎦⎤​，$\boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$v2​=⎣⎡​−101​⎦⎤​，$\boldsymbol x = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\7\end{bmatrix}$x=⎣⎡​3127​⎦⎤​，$\beta = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}$β={v1​,v2​},。由于$\boldsymbol v_1$v1​, $\boldsymbol v_2$v2​线性无关，故$\beta$β是$H=Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}$H=Span{v1​,v2​}的一组基。判断$\boldsymbol x$x是否在$H$H中，如果是，求$\boldsymbol x$x相对于基$\beta$β的坐标向量。

解：

问题的实质是判断下面的方程是否相容：
$c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}$c1​⎣⎡​362​⎦⎤​+c2​⎣⎡​−101​⎦⎤​=⎣⎡​3127​⎦⎤​
经计算，$c_1=2$c1​=2，$c_2=3$c2​=3，$[\boldsymbol x]_\beta = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$[x]β​=[23​]。基$\beta$β确定$H$H上的一个坐标系，如下图所示：

注意到，虽然$H$H中的点也在$\mathbb R^3$R3中，但它们完全由属于$\mathbb R^2$R2的坐标向量确定。映射$\boldsymbol x \rightarrow[\boldsymbol x]_\beta$x→[x]β​是$H$H和$\mathbb R^2$R2之间保持线性组合关系的一一映射，我们称这种映射是同构的，切$H$H与$\mathbb R^2$R2同构。

一般的，如果$\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}$β={b1​,⋯,bp​}是$H$H的基，则映射$\boldsymbol x\rightarrow [\boldsymbol x]_\beta$x→[x]β​是使$H$H和$\mathbb R^p$Rp的形态一样的一一映射，尽管$H$H中的向量可能有多于$p$p个元素。

子空间的维数

定义：

非零子空间$H$H的维数（用$dim H$dimH表示）是$H$H的任意一个基的向量个数。零子空间$\{\boldsymbol 0\}${0}的维数定义为零。

$\mathbb R^n$Rn空间维数为$n$n，$\mathbb R^n$Rn的每个基由$n$n个向量组成。$\mathbb R^3$R3中一个经过$\boldsymbol 0$0的平面是二维的，一条经过$\boldsymbol 0$0的直线是一维的。

例：

在前一章的内容中，我们观察到，矩阵$A$A的零空间的基的数量对应于方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0中自由变量的数量，因此，要确定$Nul \ A$Nul A的维数，只需求出$A\boldsymbol =\boldsymbol 0$A=0中自由变量的个数。

定义：

矩阵$A$A的秩（记为$rank A$rankA）是$A$A的列空间的维数。

因为$A$A的主元列形成$Col \ A$Col A的一个基，故$A$A的秩正好是$A$A的主元列的个数。
例：

确定下列矩阵的秩：
$A=\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\4&7&-4&-3&9\\6&9&-5&2&4\\0&-9&6&5&-6\end{bmatrix}$A=⎣⎢⎢⎡​2460​579−9​−3−4−56​−4−325​894−6​⎦⎥⎥⎤​

解：

$A$A经过行化简，其阶梯形矩阵为：
$\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\0&-3&2&5&-7\\0&0&0&4&-6\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​2000​5−300​−3200​−4540​8−7−60​⎦⎥⎥⎤​
可见，$A$A有三个主元列（第1，2，4列），因此$rank \ A = 3$rank A=3

从这个例子中还可以看到，方程$A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$Ax=0有两个自由变量（由于$A$A的五列中只有三个主元列），因此得出如下关系：
定义：

如果一矩阵$A$A有$n$n列，则$rank \ A + dim \ Nul \ A = n$rank A+dim Nul A=n

上述定理被称作秩定理。

下面的定理被称为基定理

设$H$H是$\mathbb R^n$Rn的$p$p维子空间，$H$H中的任何恰好由$p$p个元素组成的线性无关集构成$H$H的一个基。并且，$H$H中任何生成$H$H的$p$p个向量集也构成$H$H的一个基。

秩与可逆矩阵定理

子空间基的线性无关性质可以与逆矩阵发生一些关联，下面是逆矩阵与本节知识关联得到的一些推论

定理：

设$A$A是一$n \times n$n×n矩阵，则下面的每个命题与$A$A是可逆矩阵的命题等价：
a. $A$A的列向量构成$\mathbb R^n$Rn的一个基
b. $Col \ A = \mathbb R^n$Col A=Rn
c. $dim \ Col \ A = n$dim Col A=n
d. $rank \ A = n$rank A=n
e. $Nul \ A = \{\boldsymbol 0\}$Nul A={0}
f. $dim \ Nul \ A = 0$dim Nul A=0