各变量含义

待估计方程：
$Q_{Y_{t}}\left[\tau | Z_{t-1}\right]=a(\tau)+Y_{t-1, p}^{\prime} \alpha(\tau)+X_{t-1, q}^{\prime} \beta(\tau)=Z_{t-1}^{\prime} \theta(\tau)$QYt​​[τ∣Zt−1​]=a(τ)+Yt−1,p′​α(τ)+Xt−1,q′​β(τ)=Zt−1′​θ(τ)
其中，$a(\tau)$a(τ)为截距项，$\alpha(\tau)$α(τ)和$\beta(\tau)$β(τ)为回归系数列向量；$\theta(\tau)$θ(τ)为回归系数向量，
$a(\tau)=\left[alpha(\tau), \alpha(\tau)^{\prime}, \beta(\tau)^{\prime}\right]^{\prime}​$a(τ)=[alpha(τ),α(τ)′,β(τ)′]′​

$\quad Y_{t-1, p}^{\prime}=\left(Y_{t-1}, \cdots, Y_{t-p}\right)$Yt−1,p′​=(Yt−1​,⋯,Yt−p​)

$\quad X_{t-1, q}^{\prime}=\left(X_{t-1}, \cdots, X_{t-q}\right)$Xt−1,q′​=(Xt−1​,⋯,Xt−q​)

$Z_{t-1}^{\prime}=\left(Y_{t-1, p}^{\prime}, X_{t-1, q}^{\prime}\right)$Zt−1′​=(Yt−1,p′​,Xt−1,q′​)

Wald检验量为：$\mathrm{W}_{T}(\tau)=T \frac{\hat{\beta}(\tau)^{\prime} \hat{\Sigma}(\tau)^{-1} \hat{\beta}(\tau)}{\tau(1-\tau)}$WT​(τ)=Tτ(1−τ)β^​(τ)′Σ^(τ)−1β^​(τ)​

Sup-Wald检验量为：$\sup W_{T}=\sup _{i=1, \cdots, n} W_{T\left(\tau_{i}\right)}$supWT​=i=1,⋯,nsup​WT(τi​)​

Python在进行分位数回归时，方差默认为核估计

分位数方差核密度估计原理（基于Eviews帮助文件）

独立但不同分布假设下的参数渐近分布

当分位数密度函数独立但不同分布即与解释变量X相关时，$\sqrt{T}(\hat{\beta}(\tau)-\beta(\tau))$T​(β^​(τ)−β(τ))的渐近分布服从Huber sandwich形式：

$\sqrt{T}\left(\hat{\beta}_{(\tau)}-\beta_{(\tau)}\right){\sim} N\left(0, \tau(1-\tau) H(\tau)^{-1} J H(\tau)^{-1}\right)​$T​(β^​(τ)​−β(τ)​)∼N(0,τ(1−τ)H(τ)−1JH(τ)−1)​
其中$T$T为样本容量，$\tau$τ为分位点，$\hat{\beta}_{(\tau)}$β^​(τ)​为$\tau$τ分位点下回归系数估计量，$N$N为正态分布，$X_{i}$Xi​为解释变量矩阵；
$J=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} \frac{X_{i} X_{i}^{\prime}}{T}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{X X}{T}\right)​$J=n→∞lim​(i∑​TXi​Xi′​​)=n→∞lim​(TXX​)​

$H(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} X_{i} X_{i}^{\prime} f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right) / T\right)$H(τ)=T→∞lim​(i∑​Xi​Xi′​fi​(qi​(τ))/T)

$f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right)$fi​(qi​(τ))是个体$i$i在$\tau$τ分位点上的条件密度函数。使用核密度进行估计：
$\hat{H}(\tau)=(1 / T) \sum_{i=1}^{T} c_{T}^{-1} K\left(\hat{u}_{(\tau) t} / c_{T}\right) X_{i} X_{i}^{\prime}$H^(τ)=(1/T)i=1∑T​cT−1​K(u^(τ)t​/cT​)Xi​Xi′​
其中 $\hat{\mathcal{u}}_{(\tau) i}$u^(τ)i​表示分位数回归的残差；$c_T$cT​为带宽，估计原理见下文；表示$\kappa$κ核密度函数。EViews中可以选择的核密度函数有Epanechnikov核函数（默认）、均匀 (Uniform) 核函数、三角(Triangular)核函数、二权(Biweight)核函数、三权(Triweight)核函数、正态(Normal)核函数、余弦(Cosinus)核函数，具体函数形式见图。

$c_T$cT​的估计原理：$c_{T}=\kappa\left(\Phi^{-1}\left(\tau+h_{n}\right)-\Phi^{-1}\left(\tau-h_{n}\right)\right)$cT​=κ(Φ−1(τ+hn​)−Φ−1(τ−hn​))

其中$\kappa=\min (s, I Q R / 1.34)$κ=min(s,IQR/1.34),$IQR$IQR为四分位距，$\mathrm{I} Q \mathrm{R}=Q_{3}-Q_{1}$IQR=Q3​−Q1​;$s$s为残差的标准差；$h_n$hn​是Siddiqui带宽，
$h_{n}=T^{-1 / 3} Z_{\alpha}^{2 / 3}\left(\frac{1.5\left(\varphi\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)\right)^{2}}{2\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)^{2}+1}\right)^{1 / 3}$hn​=T−1/3Zα2/3​(2(Φ−1(τ))2+11.5(φ(Φ−1(τ)))2​)1/3
$\Phi$Φ表示正态分布的积累分布函数，$\Phi^{-1}$Φ−1表示正态分布的逆函数，$\varphi$φ表示正态分布的密度函数，$Z_{\alpha}=\Phi^{-1}(1-\alpha / 2)$Zα​=Φ−1(1−α/2)为选择的显著性水平$\alpha$α对应的$Z$Z值。

文中只列出一种方差的估计原理，更多内容详见Eviews 8帮助文件