【线性代数】行列式、矩阵、向量、线性空间与线性变换
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（P1 ~ P41 + 书《工程数学线性代数第六版》）
1.1 二阶与三阶行列式
1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式
1.1.2 三阶行列式
1.2 全排列和对换
1.2.1 排列及其逆序数
全排列：把n个不同的元素排成一列
所有排列的种数：
- 标准排列：对于n个不同的元素，先规定各个元素之间的排列次序
- 逆序：某一对元素的先后顺序与标准次序不同
- 排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数（根据数字的奇偶性分为奇排列、偶排列）
1.2.2 对换
- 对换：将任意两个元素对调
- 相邻对换：将相邻两个元素对调
定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
（推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.
1.3 n阶行列式的定义
1.4 行列式的性质
性质1：行列式与他的转置行列式相等
性质2：对换行列式的两行或两列，行列式变号
（推论：如果行列式有两行或两列完全相同，则此行列式等于零
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式.
（推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：
性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
1.5 行列式按行（列）展开
余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元a-ij，所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元a-ij的余子式，记作M-ij；记
代数余子式：A-ij
引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元a-ij，外都为零，那么这行列式等于a-ij与它的代数余子式的乘积，即
行列式按行（列）展开法则
定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即
2.1 线性方程组和矩阵
2.1.1 线性方程组
n元非齐次线性方程组
n元齐次线性方程组
2.1.2 矩阵的定义
- 实矩阵：元素是实数的矩阵
- 复矩阵：元素是复数的矩阵
- n阶矩阵/n阶方阵：行数和列数都是n的矩阵
- 行矩阵/行向量：只有一行的矩阵
- 列矩阵/列向量：只有一列的矩阵
- 同型矩阵：两个矩阵的行数和列数均相等。（每个元素也都相等，则两个矩阵相等）
- 零矩阵：元素都是零的矩阵
2.2 矩阵的运算
2.2.1 矩阵的加法
2.2.2 数与矩阵相乘
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
2.2.4 矩阵的转置
定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT.
2.2.5 方阵的行列式
定义6：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作detA或|A|.
（应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数.
2.2.6 伴随矩阵
按行求的代数余子式按列排放
2.3 逆矩阵
2.3.1 逆矩阵的定义、性质和求法
定义7：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
定理1：若矩阵A可逆，则|A|≠0.
定理2：
A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵.
（推论：若 AB = E （或 BA = E），则 B是A的逆矩阵
2.3.2 逆矩阵的初步应用
2.4 克拉默法则
2.5 矩阵分块法
3.1 矩阵的初等变换
定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
（i）对换两行（对换i，j两行，记作 r i ↔r j ）；
（ii）以数k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘 k，记作r i ×k） ；
（ iii）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的 k 倍加到第i行上，记作r-i +k*r-j ） .
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.
- 矩阵A与矩阵B行（列）等价：矩阵 A 经有限次初等行（列）变换变成矩阵 B，
- 矩阵A与矩阵B等价：矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，
性质：
反身性 A ～A；
对称性 若 A～B，则 B～A；
传递性 若 A～B，B～C，则 A～C.
定义2 ：
（1）非零矩阵若满足
- 非零行在零行的上面；
- 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，
则称此矩阵为行阶梯形矩阵；
（2）进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：
- 非零行的首非零元为1；
- 首非零元所在的列的其他元均为0，
则称 A 为行最简形矩阵.
定义3：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
性质1：设 A 是一个 m×n 矩阵，
对A施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；
对A施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵.
性质2：方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P 1 ，P 2 ，… ，P l，使 A = P 1 P 2 …
P l .（推理：
3.2 矩阵的秩
定理2：若 A ～B，则 R（A）= R（B）.
（推论：若可逆矩阵 P、Q 使 PA Q =B，则 R（A）= R（B）.
3.3 线性方程组的解
定理3：n 元线性方程组 Ax=b
- 无解的充分必要条件是 R（A）＜R（A，b）；
- 有惟一解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）= n；
- 有无限多解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）＜n.
定理4：n 元齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充分必要条件是 R（A）＜n.
定理5：线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）.
定理6：矩阵方程 A X = B 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，B）.
定理7：设 AB = C，则 R（C） ≤ min｛ R（A），R（B） ｝ .
4.1 向量组及其线性组合
定义2：给定向量组 A：a 1 ，a 2 ， … ，a m ，对于任何一组实数 k 1 ，k 2 ，… ，k m ，表
达式k 1 a 1 +k 2 a 2 + … +k m a m；称为向量组 A 的一个线性组合，k 1 ，k 2 ， … ， k m 称为这个线性组合的系数.给定向量组 A：a 1 ，a 2 ，…， a m 和向量 b，如果存在一组数λ 1 ，λ 2 ，…，λ m ，使 b =λ 1 a 1 +λ 2 a 2 + … +λ m a m m，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示.
向量 b 能由向量组 A 线性表示，也就是方程组x 1 a 1 +x 2 a 2 + … +x m a m = b 有解.
4.2 向量组的线性相关性
定义4：给定向量组 A：a 1 ，a 2 ，…， a m 如果存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ， … ，k m ，使k 1 a 1 +k 2 a 2 + … +k m a m = 0，则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关.
4.3 向量组的秩
定义5：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r + 向量 a 1 ，a 2 ，…，a r ，满足
- 向量组 A 0 ：a 1 ， a 2 ，…，a r 线性无关；
- 向量组A 中任意r+1 个向量（如果A 中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A 0 是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称量大无关组），
最大无关组所含向量个数r称为向量组 A 的秩，记作 R A .只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0
（推论：设向量组A 0 ： a 1 ，a 2 ， … ， a r是向量组A的
一个部分组，且满足
- 向量组 A 0 线性无关；
- 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A 0 线性表示，
那么向量组 A 0 便是向量组 A 的一个最大无关组.
定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.
4.4 线性方程组的解的结构
4.5 向量空间
- 如果向量 空间 V 没有基，那么 V 的维数为 0. 0 维向量空间只含一个零向量 0.
- 若把向量空间 V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩.