机器动力学人参数辨识

注：知识来源于哈工大《机器人力控》线上课程，网址：https://www.bilibili.com/video/BV1y7411H7fg?p=1

操作臂动力学方程

$M(\theta)\ddot{\theta}+C(\theta,\dot{\theta})+B_d\cdot\theta+D(\dot{\theta})+G(\theta)= \tau \tag{1}$

$M$ ——惯性系数矩阵，
$C$ ——离心力、科氏力等力或力矩项
$B_d$ ——关节相对运动时的内部摩擦项中的黏性摩擦项
$D$ ——动摩擦项
$G$ ——重力或重力矩
其中：
$M(\theta)= \left[ \begin{matrix} M_1+2R\cos\theta_2 & M_2+2R\cos\theta_2\\ M_2+R\cos\theta_2 & M_2 \end{matrix} \right]\\ C(\theta,\dot\theta)= \left[ \begin{matrix} -2R\dot\theta_1\dot\theta_2\sin\theta_2-R\dot\theta_2^2\sin\theta_2\\ R\dot\theta_1^2\sin\theta_2 \end{matrix} \right]\\ B_d= \left[ \begin{matrix} B_{d1} & 0\\ 0 & B_{d2} \end{matrix} \right]\\ D(\dot\theta)= \left[ \begin{matrix} D_1sgn(\dot\theta_1)\\ D_2sgn(\dot\theta_1) \end{matrix} \right]\\ G(\theta)=0\\ M_1=I_1+I_2+m_1r_1^2+m2(l_1^2+r_2^2)\\ M_2=I_2+m_2r_1^2\\ R=m_2r_2l_1 \tag{2}$

eg：以2-DOF操作臂为例

机器动力学人参数辨识

根据计算，有以下两种参数几何 $P,\rho$

$P= \lbrace I_1,I_2，m_1,m_2,r_1,r_2,B_{d1},B_{d2},D_1,D_2 \rbrace \in R^{10}$ or $\rho= \lbrace M_1,M_2,R,B_{d1},B_{d2},D_1,D_2 \rbrace \in R^7$

选择哪一个组合参数？
选择 $\rho$ ，维数小，这样可以提高计算效率

说明：
1.基底参数定义不唯一
2.参数识别不一定要是独立的物理参数，几个参数组合而成的组合参数也可以
3.尽可能选择组合参数 $\rightarrow$ 减少识别个数

逐次识别法：对操作臂的1自由度各轴逐次进行识别
同时识别法：对操作臂的多自由度各轴同时识别

机械臂动力学参数识别过程

机器动力学人参数辨识

逐次识别法

第一步识别 $\rho_1=\lbrace M_2,B_2,D_2 \rbrace^T$

固定第一轴，让第二轴单独运动。
运动方程式：
$[\ddot\theta_2(t) \quad \dot\theta_2(t) \quad sgn(\dot\theta_2(t))] \left[ \begin{matrix} M_2\\B_2\\D_2 \end{matrix} \right] =\tau_2(t) \tag{3}$
如何求解：
- 测定所有时刻 $t=t_1,t_2......t_N$ 下的所有值{ $\theta_2,\dot\theta_2,\ddot\theta_2,\tau_2$ }
  $A_N=\left[ \begin{matrix} \ddot\theta_2(t_1) & \dot\theta_2(t_1) & sgn(\dot\theta_2(t_1))\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ \ddot\theta_2(t_N) & \dot\theta_2(t_N) & sgn(\dot\theta_2(t_N)) \end{matrix} \right] \quad \rho= \left[ \begin{matrix} M_2\\B_2\\D_2 \end{matrix} \right] \quad y_N= \left[ \begin{matrix} \tau_2(t_1)\\\cdots\\\tau_2(t_N) \end{matrix} \right] \tag{4}$
- 进而得到：
  $A_N \cdot \rho_1=y_N \tag{5}$
- 由最小二乘法可得：
  $\rho=(A_N^T \cdot A_N)^{-1} \cdot A_N \cdot y_N \tag{6}$
第二步识别 $\rho_2=\lbrace M_1,B_1,D_1 \rbrace^T$

固定第二轴在多个不同的姿势，在不同的情况下分别让第一周单独运动
- 情况一
  
  运动方程：
  $(M_1+2R)\ddot\theta_{a1}(t)+B_1\dot\theta_{a1}(t)+D_1sgn(\dot\theta_{a1}(t))=\tau_{a1}(t) \tag{7}$
  也就是：
  $[\ddot\theta_{a1}(t) \quad \dot\theta_{a1}(t) \quad sgn(\dot\theta_{a1}(t))] (\rho_2+ \left[ \begin{matrix} 2R\\0\\0 \end{matrix} \right]) =\tau_{a1}(t) \tag{8}$
  由最小二乘法可以得到 $\rho_2+[2R \quad 0 \quad 0]$
- 情况三
  
  运动方程：
  $[\ddot\theta_{b1}(t) \quad \dot\theta_{b1}(t) \quad sgn(\dot\theta_{b1}(t))] \rho_2 =\tau_{b1}(t) \tag{9}$
  由最小二乘法得到 $\rho_2$
  
  进一步可以得到 $R$
- 说明
  
  上述过程只用2种情况，但是分的情况越细，参数识别越精确。
  同时在不同情况下的参数识别可以存入数表，在使用时通过查表的方式得到参数，这样更加准确。
  由于电流和力矩是完全随机的，实验时有一定的危险。

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