三维视觉之基础矩阵

设空间一点X在左相机坐标系中的坐标为x1=(x1,y1,z1)T，在右相机坐标系中的坐标为x2=(x2,y2,z2)T。该点在左相机成像平面的图像齐次坐标为m1=(u1,v1,1)T，在右相机成像平面的图像齐次坐标为m2=(u2,v2,1)T。
左相机的内参数矩阵为K1，右相机的内参数矩阵为K2。设左相机坐标系到右相机坐标的旋转和平移分别为R,t。那么：

x 2 = R x 1 + t

。
根据相机的成像模型：

s 1 m 1 s 2 m 2 = = K 1 x 1 K 2 x 2

注意到：

O 2 X - \to - - \cdot (O 2 O 1 - \to - - \times O 1 X - \to - -)

将这些统一到右相机坐标系下：

O 2 X - \to - - O 2 O 1 - \to - - O 1 X - \to - - = = = x 2 t x 2 - t = R x 1 + t - t = R x 1

代入上式可得：

x 2 \cdot ([t] \times R x 1) = 0

进一步可写为：

m T 2 K - T 2 [t] \times R K - 1 1 m 1 = 0

m T 2 F m 1 = 0

F=K−T2[t]×RK−11为相机的基本矩阵。

这里实际上涉及到了对极几何（Epipolar Geometry），其中O1O2X表示极平面，其中x1e1表示极线l1，x2e2表示极线l2。根据齐次坐标的原理，l1的方程为：l1=e1×m1，l2=e2×m2。l1满足：mT1l1=0，l2满足：mT2l2=0。结合基本矩阵，可得到：

l 1 l 2 = = F T m 2 F m 1

三维视觉之基础矩阵

三维视觉之基础矩阵

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