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矩阵相乘的理解（矩阵相乘的几何意义）及证明过程

分类: 文章 • 2025-01-01 16:20:40

矩阵相乘的理解

1.基底的理解

  说到理解矩阵相乘的几何意义，第一个概念就是基底。何为基底哪？
  首先，我们有一个二维平面，比如有一张纸，此时纸上有一个点A，我们要描述这个点的位置，于是我们以这张纸的中心为原点，平行于底边过原点建立X轴，垂直与 X轴过原点建立Y轴，此时我们就可以使用点A到X轴的距离和点A到Y轴的距离来描述它的位置。同理我们就可以描述任何一个任何一个在二维平面上的点。
 此时我们用来描述位置的参考的X轴，Y轴就是一组基底。那我们可以用两个向量表示这一组基底(之所以是两个向量是应为此时要表示的二位平面)，则此时基底表示为（我们选取单位向量表示）：
i=[10],j=[01],ij=[1001](基底矩阵) \tag{基底矩阵} i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ,j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ,ij= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
 基底本质是描述位置的参考，于是我们定义二位基底是不共线的两个向量。
基底的定义中并不要求是单位向量，也并不规定这两个向量必须正交。

2.证明过程

矩阵相乘的理解（矩阵相乘的几何意义）及证明过程
emmm本来想写换基来的emmmm还是算了吧。
如上图，点A在原来的X-Y基底中表示为：
A=(1,2)A=(1, 2)
在新的坐标系X-new Y-new中表示为:
Anew=(322,22)A_{new}=(\frac {3\sqrt{\smash[b]{2}}} 2, \frac {\sqrt{2}} 2)

上面的AnewA_{new}是直接数出来的，那怎么计算得到它.

设Anew=(Xn,Yn)A_{new}=(X_n,Y_n)
设新的基底表示为
in=[1212],jn=[−1212],ijn=[12−121212] i_n= \begin{bmatrix} \frac 1 {\sqrt{2}} \\ \frac 1 {\sqrt{2}} \end{bmatrix} , j_n= \begin{bmatrix} -\frac 1 {\sqrt{2}} \\ \frac 1 {\sqrt{2}} \end{bmatrix} ,ij_n = \begin{bmatrix} \frac 1 {\sqrt{2}} & -\frac 1 {\sqrt{2}} \\ \frac 1 {\sqrt{2}} & \frac 1 {\sqrt{2}} \end{bmatrix}
则有：
Xn=∥OA∥→∗cos⁡(α) X_n=\overrightarrow{\|OA\|}*\cos{(\alpha)} Yn=∥OA∥→∗cos⁡(β) Y_n=\overrightarrow{\|OA\|}*\cos{(\beta)}
其中 α\alpha 指 OA→\overrightarrow{OA} 和XnewX_{new}轴的夹角
其中 β\beta 指 OA→\overrightarrow{OA} 和YnewY_{new}轴的夹角
根据向量内积的定义有：
BB点在图中没有标出，是过AA点垂直与XnewX_{new}轴的垂足
OA→∗OB→=∥OA∥→∗∥OB∥→∗cos⁡(α)(式-1) \tag{式-1} \overrightarrow{OA}*\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{\|OA\|}*\overrightarrow{\|OB\|}*\cos(\alpha)
可以得到
∥OA∥→∗cos⁡(α)=OA→∗OB→∥OB∥→(式-2) \tag{式-2} \overrightarrow{\|OA\|}*\cos{(\alpha)}= \frac {\overrightarrow{OA}*\overrightarrow{OB}} {\overrightarrow{\|OB\|}}
又因为：
OB→∥OB∥→=in \frac {\overrightarrow{OB}} {\overrightarrow{\|OB\|}}=i_n
最终得到
Xn=∥OA∥→∗cos⁡(α)=OA→∗OB→∥OB∥→=OA→∗in X_n=\overrightarrow{\|OA\|}*\cos{(\alpha)}= \frac {\overrightarrow{OA}*\overrightarrow{OB}} {\overrightarrow{\|OB\|}}= \overrightarrow{OA}*i_n
同理可得
Yn=OA→∗jn Y_n=\overrightarrow{OA}*j_n
Anew=[OA→∗inOA→∗jn]=OA→∗ijn(式-3) \tag{式-3} A_{new}= \begin{bmatrix} \overrightarrow{OA}*i_n & \overrightarrow{OA}*j_n \end{bmatrix}= \overrightarrow{OA}*ij_n
根据 式−3式-3 得到：
Anew=[12]∗[12−121212]=[32222] A_{new}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} \frac 1 {\sqrt{2}} & -\frac 1 {\sqrt{2}} \\ \frac 1 {\sqrt{2}} & \frac 1 {\sqrt{2}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac {3\sqrt{\smash[b]{2}}} 2 & \frac {\sqrt{2}} 2 \end{bmatrix}

3.公式分析

3.1分析

最终我们得到上一小节的 式−3式-3
Anew=OA→∗ijn(式-3) \tag{式-3} A_{new}= \overrightarrow{OA}*ij_n
从这个式子我们可以看到，OA→\overrightarrow{OA} 和 矩阵 ijnij_n 的叉乘表示了将一个二维向量从一个基转化到另一个基的过程。

3.2

此时是一个1∗21*2 的矩阵和一个2∗22*2的矩阵叉乘。假设矩阵A是一个 n1∗n2n1*n2 的矩阵，矩阵B是一个 n2∗n3n2 * n3 的矩阵。

3.2.1 n3=n2n3=n2 时：

则 A∗BA*B 表示 n1n1 个 n2n2 维的向量，按行组成矩阵A，依次进行映射到由矩阵B定义的新基底的过程。

3.2.2 n3<n2n3<n2 时：

则 A∗BA*B 表示 n1n1 个 n2n2 维的向量，按行组成矩阵A，依次进行映射到由矩阵B定义的新基底的过程。并且在此过程对矩阵A进行了降维。
比如 n1=3,n2=3,n3=2n1=3, n2=3, n3=2
A=[向量1→向量2→向量3→]B=[injnhn] A= \begin{bmatrix} \overrightarrow{向量1} \\ \overrightarrow{向量2} \\ \overrightarrow{向量3} \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} i_n & j_n&{\xcancel{h_n}} \end{bmatrix}
此时则表示在变换基底的过程中进行了降维，将原有的第三个维度去除了。
可以想象一个典型的 X−Y−ZX-Y-Z 轴，想象在变换过程去掉了高度，三维落到了二维。

3.2.3 n3>n2n3>n2时：

与3.2.2相反，此时是在变换基底的过程增加了维度。

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