线性方程组基础解系的简便算法

线性方程组的求解是线性代数中的基本技能，而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式，从而简化计算过程。

符号说明

• n元线性方程组的矩阵形式：(1)齐次线性方程组$Ax=0$Ax=0;（2）非齐次线性方程组$Ax=b$Ax=b;
• 系数矩阵：$A$A;
• 增广矩阵：$(Ab)$(Ab);
• 高斯消元法将系数矩阵化为最简形式：

$A\rightarrow\begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix}$A→(Er​0​F0​)

公式及用法

由行最简形$\begin{pmatrix}E_r & F \\ 0 & 0\end{pmatrix}$(Er​0​F0​)，得到齐次方程组的解矩阵为

$\begin{pmatrix}-F \\ E_{n-r}\end{pmatrix}$(−FEn−r​​)

例1 求解齐次线性方程组$Ax=0$Ax=0的基础解系，其中

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix}$A=⎝⎛​112​123​112​347​⎠⎞​

解：高斯消元法：

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1& 2&1&4\\2&3&2&7\end{pmatrix}\rightarrow \ldots 此处省略50字$A=⎝⎛​112​123​112​347​⎠⎞​→…此处省略50字
$\rightarrow \begin{pmatrix}1&0&1&2\\0& 1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$→⎝⎛​100​010​100​210​⎠⎞​

此处，$F=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$F=(10​21​),所以由上述解矩阵公式可得，

$\begin{pmatrix}-1&-2\\0&-1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​−1010​−2−101​⎠⎟⎟⎞​,

所以这个齐次方程组的基础解系为

$\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​−1010​⎠⎟⎟⎞​和$\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​−2−101​⎠⎟⎟⎞​.

---

更多内容，欢迎用微信扫描下图中的二维码，或搜索“大哉数学之为用”，免费关注微信公众号“大哉数学之为用”进行阅读。

如果您觉得本文对您有帮助，欢迎赞赏！您的支持是作者继续下去的动力！