矩阵特征值的几何意义

对于一个二阶矩阵 $A$ ，它的特征值为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ ,对应的特征向量为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 。考虑线性变换， $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$ ,令 $u_1$ , $u_2$ 在单位圆上变换，即令 $u_1=\cos \theta$ , $u_2=\sin \theta$ ,那么 $x_1$ , $x_2$ 将在椭圆上变化，且椭圆的长轴长度为较大的特征值，方向为较大特征值所确定的方向。短轴情况与长轴一样。
矩阵特征值的几何意义
来源：http://www.eope.net/fileup/PDF/2008-1002.pdf