局部特征(2)——Harris角点

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       在入门篇中偶尔谈到了Harris Corner，在这里我们就重点聊一聊Harris Corner。

       Harris Corner是最典型的角点检测子Corner Detector。角点经常被检测在边缘的交界处、被遮挡的边缘、纹理性很强的部分。满足这些条件一般都是稳定的、重复性比较高的点，所以实际上他们是不是角点并不重要（因为我们的目标就是找一些稳定、重复性高的点以作为特征点）。

Harris Corner基于二阶矩阵：

这个矩阵描述了局部邻域内梯度的分布情况。矩阵的两个特征值可以用来描述两个主要方向上信号的变化，因此特征值可以用来判决是否为特征点。Harris采用的判别方法是：

显而易见，cornerness的值越大，对应的两个特征值都应该很大，其中λ取0.04，是为了抑制比较明显的直线。最后对整幅图像得到的cornerness做一个非极大抑制，得到最后的特征点。Harris角点具有的优点是平移不变、旋转不变，能克服一定光照变化。可以先从一个例子上观察Harris Corner实现的过程：

现在有几个问题：首先为什么3.1式矩阵的两个特征值可以用来描述两个主要方向上信号的变化；另外一个问题是为什么3.4式用来决定是否为角点。

要知道为什么3.1可以作为这个矩阵，我们了解一下具体怎么推出这个式子的，那这又要从Moravec算子说起，步骤如下：

0）将要判断的点置于一个3*3或5*5的图像块的中心，如下图用红色的线环绕的图像块。

1）将红色的框朝8个方向移动一格，得到蓝色的框（下图为向右上角移动）。导致一个缺点：响应是各向异性的（啥意思？）

2）将红色的框和蓝色的框的相同坐标值的点的像素值相减，并求平方和，可以得到8个值。

3）将8个值中的最小的值作为角点像素的变化值。（因为角点应该在x、y方向上变化都比较大；而在边缘上只可能一个方向大、另一个方向小）

4）求出每一个像素点的角点像素变化值，在局部图像块中，该值最大的点为角点。

Harris算子将Moravec算子做了两个推广：

1）用像素的变化梯度代替像素值相减并引入高斯窗函数（举个x方向上变化的例子为证）。

引入高斯窗是为了滤除噪声的干扰。

[-1,0,1]:x方向上的偏导，[-1,0,1]T:y方向上的偏导。

2）推广出了一个公式这样可以计算任意方向上的像素值变化，而不在是8个固定的方向。

（这里的u、v表示x/y方向的位移）

因为Vuv（x,y）的最小值才是这个点需要被考虑的值，因此我们重写以上表达式：

看到M矩阵的形式了么？这就是Harris算子的那个原始矩阵，我想推到这里，你也就应该了解Harris矩阵为什么是这样子的了。

第二个问题：为什么3.4可以用来描述是否为角点。

可以参考这样一个图：描述了不同纹理下α和β的取值情况：

a)没有什么纹理的情况下，两个值都很小（很小的正值）

b)边缘的点，一个值大，另外一个值小（由于k取了很小的值，所以3.4的结果为一个小负值）

c)角点：两个值都比较大（比较大的正值）

这样，当我们把目标函数定义为3.4式的时候，得到的结果就会尽力满足两个特征值都比较大了。当然，除此之外，还有Harmonic mean等方式实现更理想的组合方式达到检测出的两个特征值都尽可能大。

检测效果图（右图进行了旋转）