题记

很早就想谈谈这个话题，奈何时间不允许。最近相对比较闲，所以来侃一侃机器人学中的惯性矩阵这点事儿。

机器人学中的惯性张量

惯性张量是表述机器人本体在转动过程中状态改变的难易程度的一个量，与之对应的是平动中的质量。

对于惯性张量的表示，在不同的坐标系下其值是不同的，我们可以通过坐标旋转和平行移轴定理来将不同坐标系下的惯性张量矩阵联系在一起。

假设现有一坐标系${A}$A，其惯性张量矩阵如下：
$^{A} \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ccc}{I_{x x}} & {-I_{x y}} & {-I_{x z}} \\ {-I_{x y}} & {I_{y y}} & {-I_{y z}} \\ {-I_{x z}} & {-I_{y z}} & {I_{z z}}\end{array}\right]$AI=⎣⎡​Ixx​−Ixy​−Ixz​​−Ixy​Iyy​−Iyz​​−Ixz​−Iyz​Izz​​⎦⎤​
$where$where，$\begin{aligned} I_{x x} &=\iiint_{V}\left(y^{2}+z^{2}\right) \rho d v \\ I_{y y} &=\iiint_{V}\left(x^{2}+z^{2}\right) \rho d v \\ I_{z z} &=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho d v \\ I_{x y} &=\iiint_{V}(x y) \rho d v \\ I_{x z} &=\iiint_{V}(x z) \rho d v \\ I_{y z} &=\iiint_{V}(y z) \rho d v \end{aligned}$Ixx​Iyy​Izz​Ixy​Ixz​Iyz​​=∭V​(y2+z2)ρdv=∭V​(x2+z2)ρdv=∭V​(x2+y2)ρdv=∭V​(xy)ρdv=∭V​(xz)ρdv=∭V​(yz)ρdv​
刚体有单元$dv$dv组成，其密度为$ρ$ρ，每个单元位置由矢量$[x ，y， z]^T$[x，y，z]T指定。

惯性张量在不同坐标系下的转换

1. 假设坐标系${1}$1的惯性张量矩阵为$I_1$I1​，坐标系${2}$2的惯性张量矩阵为$I_2$I2​，两个坐标系原点${o}$o重合，由坐标系${1}$1变换到坐标系${2}$2的矩阵为$R_{12}$R12​，则$I_1$I1​与$I_2$I2​的关系如下：
   $I_1 = R_{12} I_2 (R_{12})^T$I1​=R12​I2​(R12​)T

2. 假设有一输出坐标系为坐标系${1}$1，质点为${c}$c，其在坐标系${1}$1中的坐标为$P_c = [x_c ，y_c， z_c]^T$Pc​=[xc​，yc​，zc​]T，对齐坐标系${1}$1的质心坐标系为${C}$C，则由平行移轴定理可得：
   $I_1 = I_c + m (P_{c}^{T}P_cI_{3×3} - P_cP_{c}^{T})$I1​=Ic​+m(PcT​Pc​I3×3​−Pc​PcT​)

下面来举个栗子！

• 例1 方块实体
  
  
  
• 例2 机械臂连杆
  
  
  
  

注意：

• SolidWorks测量的惯性张量值，都是绝对的，因此在写惯性张量矩阵时要在除对角线位置外添加负号！！！

几个概念

惯性张量、惯性积、惯性矩和转动惯量，几个概念傻傻分不清……

1. 首先我们来看下转动惯量，转动惯量（此处为质量转动惯量）只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，其表达式为：
   $I=\sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$I=i∑​mi​ri2​
   假设刚体质量连续分布，那么表达式可以写成：$I=\iiint_{V} r^{2} \mathrm{d} m=\iiint_{V} r^{2} \rho \mathrm{d} V$I=∭V​r2dm=∭V​r2ρdV
   $where$where，$m_i$mi​表示质元的质量，$r$r表示质元到转轴的垂直距离，$ρ$ρ为密度。
   在SI单位制中，它的单位是$kg·m^2$kg⋅m2
   2. 对于面积转动惯量，假设转轴为$z$z，那么平面积A对z轴的转动惯量（又称极转动惯量）为：
   $I_{z}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right) d A$Iz​=∫(x2+y2)dA
   在SI单位制中，它的单位是$m^4$m4
   
   3.对于惯性积，质量惯性积是刚体动力学中一个重要的质量几何性质。刚体中的质量微元 $Δm_i$Δmi​与这微元的两个直角坐标的乘积对刚体的总和。其表达式为：
   $I_{x y}=\int x y d m$Ixy​=∫xydm
   $where$where，$x_i$xi​和$y_i$yi​为刚体微元$dm$dm在$x$x、$y$y轴上的坐标。
   在SI单位制中，它的单位是$kg·m^2$kg⋅m2
   4.面积惯性积是截面的一个重要几何性质。平面积A对评估面内互相垂直的$x$x和$y$y轴的惯性积为：
   $I_{x y}=\int x y d A$Ixy​=∫xydA
   $where$where，$x$x、$y$y为面元$dA$dA的坐标。
   在SI单位制中，它的单位是$m^4$m4
   5.对于惯性矩，惯性矩(moment of inertia of an area)是一个几何量，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。面积元素$dA$dA与其至$z$z轴或$y$y轴距离平方的乘积$y^2dA$y2dA或$z^2dA$z2dA，分别称为该面积元素对于$z$z轴或$y$y轴的惯性矩或截面二次轴矩。
   对$z$z轴惯性矩：$I_{Z}=\int_{A} y^{2} d A$IZ​=∫A​y2dA
   对$y$y轴惯性矩：$I_{y}=\int_{A} z^{2} d A$Iy​=∫A​z2dA
   对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩：$I_{p}=\int_{A} \rho^{2} d A$Ip​=∫A​ρ2dA
   

• 跟质量相关的都是空间上的量，而跟面积相关的只是截面上的量。前者描述了物体转动的难易程度，或者说是抵抗物体发生位移(对于旋转来说)的能力（刚体力学量），对于平动中该量对应的是质量，后者表述的是物体截面抵抗外力变形的能力（材料力学中的刚度，是弹性力学量）。

从以上搬的砖的内容来看，惯性矩与惯性积是一个东西，极惯性矩与面积转动惯量相同。

• 二者之间的联系在于：面积惯性矩跟质量无关，$I=\int r_i^2 dA$I=∫ri2​dA，如果引入材料的密度$ρ$ρ,则该式变为：$mI=\int r_i^2 dm$mI=∫ri2​dm，即为转动惯量的积分表达式。这说明：惯性矩可以表征材料转动的难以程度，这种局部转动的宏观表现即为弯曲变形和扭转变形；惯性矩仅体现出几何形状对物体抵抗自身变形的影响，而转动惯量同时体现质量分布和几何形状的影响。

博主瞎扯淡(猜错请批评指正)

各种文献中的叫法都不一样，从看过的文献中，博主猜测：

1. 惯性矩和惯性积是描述截面抗形变能力的，惯性矩是类似于$I_{y}=\int x^2dA$Iy​=∫x2dA、$I_{x}=\int y^2dA$Ix​=∫y2dA这种的， 这是极惯性矩$I_{z}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right) d A$Iz​=∫(x2+y2)dA，惯性积的形式为$I_{xy}=\int xydA$Ixy​=∫xydA

2. 惯量矩和惯量积是描述转动难易程度，惯量矩是类似于$I_{xx}=\int (x^2+y^2)dm$Ixx​=∫(x2+y2)dm、$I_{yy}=\int (x^2+z^2)dm$Iyy​=∫(x2+z2)dm这种的，惯量积的形式为$I_{xy}=\int xydm$Ixy​=∫xydm

总结：

• 叫“性”的跟截面积有关，叫“量”的跟质量有关
• 叫“矩”的跟单轴或者两轴的平方和相关，叫“积”的跟两轴乘积有关

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参考文献：

https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E7%A7%AF/2294932?fr=aladdin

https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E7%9F%A9/8155407?fr=aladdin

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https://baike.baidu.com/item/%E6%83%AF%E6%80%A7%E5%BC%A0%E9%87%8F/5322910?fr=aladdin

http://muchong.com/html/201311/6637340.html