LSTM的公式推导详解
导言
在Alex Graves的这篇论文《Supervised Sequence Labelling with Recurrent Neural Networks》中对LSTM进行了综述性的介绍，并对LSTM的Forward Pass和Backward Pass进行了公式推导。
这篇文章将用更简洁的图示和公式一步步对Forward和Backward进行推导，相信读者看完之后能对LSTM有更深入的理解。
如果读者对LSTM的由来和原理存在困惑，推荐DarkScope的这篇博客：《RNN以及LSTM的介绍和公式梳理》
一、LSTM的基础结构
LSTM的结构中每个时刻的隐层包含了多个memory blocks（一般我们采用一个block），每个block包含了多个memory cell，每个memory cell包含一个Cell和三个gate，一个基础的结构示例如下图：
一个memory cell只能产出一个标量值，一个block能产出一个向量。
二、LSTM的前向传播（Forward Pass）
1. 引入
首先我们在上述LSTM的基础结构之上构造时序结构，这样让读者更清晰地看到Recurrent的结构：
这里我们有几个约定：
- 每个时刻的隐层包含一个block
- 每个block包含一个memory cell
下面前向传播我们则从Input开始，逐个求解Input Gate、Forget Gate、Cells Gate、Ouput Gate和最终的Output
这里需要申明的一点，推导过程严格按照上述图示LSTM的结构；论文中对相较于该文章的推导过程会有增加一些项，在每一个公式不一致的地方我都会有相应说明。
2. Input Gate(ιι) 的计算
Input Gate接受两个输入：
- 当前时刻的Input作为输入：xtxt
- 上一时刻同一block内所有Cell作为输入：st−1csct−1
该案例中每层仅有单个Block、单个cemory cell，可以忽略∑Cc=1∑c=1C，以下Forget Gate和Output Gate做相同处理。
最终Input Gate的输出为：
atι=∑i=1Iωiιxti+∑c=1Cωcιst−1caιt=∑i=1Iωiιxit+∑c=1Cωcιsct−1
btι=f(atι)bιt=f(aιt)
这里Input Gate还可以接受上一个时刻中不同block的输出bt−1hbht−1作为输入，论文中atιaιt会增加一项∑Hh=1ωhιbt−1h∑h=1Hωhιbht−1。
3. Forget Gate(ϕϕ) 的计算
Forget Gate接受两个输入：
- 当前时刻的Input作为输入：xtxt
- 上一时刻同一block内所有Cell作为输入：st−1csct−1
最终Forget Gate的输出为：
atϕ=∑i=1Iωiϕxti+∑c=1Cωcϕst−1caϕt=∑i=1Iωiϕxit+∑c=1Cωcϕsct−1
btϕ=f(atϕ)bϕt=f(aϕt)
这里Input Gate还可以接受上一个时刻中不同block的输出bt−1hbht−1作为输入，论文中atϕaϕt会增加一项∑Hh=1ωhϕbt−1h∑h=1Hωhϕbht−1。
4. Cell(cc) 的计算
Cell的计算稍有些复杂，接受两个输入：
- Input Gate和Input输入的乘积
- Forget Gate和上一时刻对应Cell输出的乘积
最终Cell的输出为：
atc=∑i=1Iωicxtiact=∑i=1Iωicxit
stc=btϕst−1c+btιg(atc)sct=bϕtsct−1+bιtg(act)
这里Input Gate还可以接受上一个时刻中不同block的输出bt−1hbht−1作为输入，论文中atcact会增加一项∑Hh=1ωhcbt−1h∑h=1Hωhcbht−1。
5. Output Gate(ωω) 的计算
Output Gate接受两个输入：
- 当前时刻的Input作为输入：xtxt
- 当前时刻同一block内所有Cell作为输入：stcsct
这里Output Gate接受“当前时刻Cell的输出”而不是“上一时刻Cell的输出”，是由于此时Cell的结果已经产出，我们控制Output Gate的输出直接采用Cell当前的结果就行了，无须使用上一时刻。
最终Output Gate的输出为：
atω=∑i=1Iωiωxti+∑c=1Cωcωstcaωt=∑i=1Iωiωxit+∑c=1Cωcωsct
btω=f(atω)bωt=f(aωt)
这里Cell还可以接受上一个时刻中其他gate链接过来的边，论文中atϕaϕt会增加一项∑Hh=1ωhϕbt−1h∑h=1Hωhϕbht−1，这里HH是泛指t-1时刻的Cell或三个Gate。
6. Cell Output(cc) 的计算
Cell Output的计算即将Output Gate和Cell做乘积即可。
最终Cell Output为：
btc=btωh(stc)bct=bωth(sct)
7. 小结
至此，整个Block从Input到Output整个Forward Pass已经结束，其中涉及三个Gate和中间Cell的计算，需要注意的是三个Gate使用的**函数是ff，而Input的**函数是gg、Cell输出的**函数是hh。
这里读者需要注意，在整个计算过程中，当前时刻的三个Gate均可以从上一时刻的任意Gate中接受输入，在公式中存在体现，但是在图示中并未画出相应的边。我们可以认为只有上一时刻的Cell才和当前时刻的Cell或三个Gate相连。
三、LSTM的反向传播（Backward Pass）
1. 引入
此处在论文中使用“Backward Pass”一词，但其实即Back Propagation过程，利用链式求导求解整个LSTM中每个权重的梯度。
2. 损失函数的选择
为了通用起见，在此我们仅展示多分类问题的损失函数的选择，对于网络的最终输出我们利用softmaxsoftmax方程计算结果属于某一类的概率（此时结果属于k个类别的概率和为1）。
p(Ck|x)=yk=eak∑Kk′=1eak′p(Ck|x)=yk=eka∑k′=1Kek′a
注意，ykyk对akak的偏导为∂yk′∂ak=ykδkk′−ykyk′∂yk′∂ak=ykδkk′−ykyk′（δkk′δkk′当k==k′k==k′时为1，其他为0）
其中，对于网络输出a1,a2,...a1,a2,...对应我们可以得到p(C1|x),p(C2|x),...p(C1|x),p(C2|x),...，即给定输入xx输出类别为C1,C2,...C1,C2,...的概率。
这样损失函数（Loss Function）就很好定义了：对于k∈1,2,...,Kk∈1,2,...,K，网络输出的类别为k概率为ykyk，而真实值zkzk：
L(x,z)=−lnp(z|x)=−∑k=1KzklnykL(x,z)=−lnp(z|x)=−∑k=1Kzklnyk
3. 权重的更新
对于神经网络中的每一个权重，我们都需要找到对应的梯度，从而通过不断地用训练样本进行随机梯度下降找到全局最优解，那么首先我们需要知道哪些权重需要更新。
一般层次分明的神经网络有input层、hidden层和output层，层与层之间的权重比较直观；但在LSTM中通过公式才能找到对应的权重，和图示中的边并不是一一对应，下面我将LSTM的单个Block中需要更新的权重在图示上标示了出来：
为了方便起见，这里需要申明的是：我们仅考虑上一时刻的Cell仅和当前时刻的Cell和三个Gate相连。
2. Cell Output的梯度
首先我们计算每一个输出类别的梯度：
δtk========∂L(x,z)∂atk∂(−∑Kk′=1zk′lnyk′)atk−∑k′=1Kzk′∂lnyk′∂atk−∑k′=1Kzk′yk′∂yk′∂atk−∑k′=1Kzk′yk′(ykδkk′−ykyk′)−∑k′=1Kzk′yk′ykδkk′+∑k′=1Kzk′yk′ykyk′−zk+yk∑k′=1Kzk′yk−zkδkt=∂L(x,z)∂akt=∂(−∑k′=1Kzk′lnyk′)akt=−∑k′=1Kzk′∂lnyk′∂akt=−∑k′=1Kzk′yk′∂yk′∂akt=−∑k′=1Kzk′yk′(ykδkk′−ykyk′)=−∑k′=1Kzk′yk′ykδkk′+∑k′=1Kzk′yk′ykyk′=−zk+yk∑k′=1Kzk′=yk−zk
也即每一个输出类别的梯度仅和其预测值和真实值相关，这样对于Cell Output的梯度则可以通过链式求导法则推导出来：
ϵtc=∂L(x,z)∂btc=∑k=1K∂L(x,z)∂atk∂atk∂btc=∑k=1Kδtkωckϵct=∂L(x,z)∂bct=∑k=1K∂L(x,z)∂akt∂akt∂bct=∑k=1Kδktωck
由于Output还可以连接下一个时刻的一个Cell、三个Gate，那么下一个时刻的一个Cell、三个Gate的梯度则可以传递回当前时刻Output，所以在论文中存在额外项∑Gg=1ωcgδt+1g∑g=1Gωcgδgt+1，为简便起见，公式和图示中未包含。
3. Output Gate的梯度
根据链式求导法则，Output Gate的梯度可以由以下公式推导出来：
δtω=∂L(x,z)∂atω=∂L(x,z)∂btc∂btc∂btω∂btω∂atω=ϵtch(stc)f′(atw)δωt=∂L(x,z)∂aωt=∂L(x,z)∂bct∂bct∂bωt∂bωt∂aωt=ϵcth(sct)f′(awt)
另外，由于单个Block内可以存在多个memory cell、一个Forget Gate、一个Input Gate和一个Output Gate，论文中将Output Gate的梯度写成了f′(atw)∑Cc=1ϵtch(stc)f′(awt)∑c=1Cϵcth(sct)，但推导过程一致。推导过程见下图，说明梯度汇总到单个Gate中：
4. Cell的梯度
细心的读者在这里会发现，Cell的计算结构和普遍的神经网络不太一样，让我们首先来回顾一下Cell部分的Forward计算过程：
atc=∑i=1Iωicxtiact=∑i=1Iωicxit
stc=btϕst−1c+btιg(atc)sct=bϕtsct−1+bιtg(act)
输入数据贡献给atcact，而Cell同时能够接受Input Gate和Forget Gate的输入。
这样梯度就直接从Cell向下传递：
δtc=∂L(x,z)∂atc=∂L(x,z)∂stc∂stc∂atc=∂L(x,z)∂stcbtιg′(atc)δct=∂L(x,z)∂act=∂L(x,z)∂sct∂sct∂act=∂L(x,z)∂sctbιtg′(act)
在这里，我们定义States，由于Cell的梯度可以由以下几个计算单元传递回来：
- 当前时刻的Cell Output
- 下一个时刻的Cell
- 下一个时刻的Input Gate
- 下一个时刻的Output Gate
那么States可以这样求解，上面1~4个能够回传梯度的计算单元和下面公式中一一对应：
ϵts====∂L(x,z)∂stc∂Lt(x,z)∂stc+∂Lt+1(x,z)∂st+1c∂st+1c∂stc+∂Lt+1(x,z)∂at+1ι∂at+1ι∂stc+∂Lt+1(x,z)∂at+1ϕ∂at+1ϕ∂stc(∂L(x,z)∂atw∂atw∂stc+∂L(x,z)∂btc∂btc∂stc)+bt+1ϕϵt+1s+ωcιδt+1ι+ωcϕδt+1ϕδtωωcω+ϵtcbtωh′(stc)+bt+1ϕϵt+1s+ωcιδt+1ι+ωcϕδt+1ϕϵst=∂L(x,z)∂sct=∂Lt(x,z)∂sct+∂Lt+1(x,z)∂sct+1∂sct+1∂sct+∂Lt+1(x,z)∂aιt+1∂aιt+1∂sct+∂Lt+1(x,z)∂aϕt+1∂aϕt+1∂sct=(∂L(x,z)∂awt∂awt∂sct+∂L(x,z)∂bct∂bct∂sct)+bϕt+1ϵst+1+ωcιδιt+1+ωcϕδϕt+1=δωtωcω+ϵctbωth′(sct)+bϕt+1ϵst+1+ωcιδιt+1+ωcϕδϕt+1
那么：
δtc=ϵtsbtιg′(atc)δct=ϵstbιtg′(act)
细心的读者会发现，论文中∂L(x,z)∂btc∂L(x,z)∂bct并没有求和，这里作者持保留态度，应该存在求和项。
同时由于Cell可以连接到下一个时刻的Forget Gate、Output Gate和Input Gate，那么下一时刻的这三个Gate则可以将梯度传播回来，所以在论文中我们会发现ϵtsϵst拥有这三项：bt+1ϕϵt+1sbϕt+1ϵst+1、ωclδt+1ιωclδιt+1和ωcϕδt+1ϕωcϕδϕt+1。
5. Forget Gate的梯度
Forget Gate的梯度计算就比较简单明了：
δtϕ=∂L(x,z)∂atϕ=∂L(x,z)∂stc∂stc∂btϕ∂btϕ∂atϕ=ϵtsst−1cf′(atϕ)δϕt=∂L(x,z)∂aϕt=∂L(x,z)∂sct∂sct∂bϕt∂bϕt∂aϕt=ϵstsct−1f′(aϕt)
另外，由于单个Block内可以存在多个memory cell、一个Forget Gate、一个Input Gate和一个Output Gate，论文中将Forget Gate的梯度写成了f′(atϕ)∑Cc=1st−1cϵtsf′(aϕt)∑c=1Csct−1ϵst，但推导过程一致，说明梯度汇总到单个Gate中。
6. Input Gate的梯度
Input Gate的梯度计算如下：
δtι=∂L(x,z)∂atι=∂L(x,z)∂stc∂stc∂btι∂btι∂atι=ϵtsg(atc)f′(atι)διt=∂L(x,z)∂aιt=∂L(x,z)∂sct∂sct∂bιt∂bιt∂aιt=ϵstg(act)f′(aιt)
另外，由于单个Block内可以存在多个memory cell、一个Forget Gate、一个Input Gate和一个Output Gate，论文中将Input Gate的梯度写成了f′(atι)∑Cc=1g(atc)ϵtsf′(aιt)∑c=1Cg(act)ϵst，但推导过程一致，说明梯度汇总到单个Gate中。
7. 小结
至此，所有的梯度求解已经结束，同样我们将这个Backward Pass的所有公式列出来：
剩下的事情即利用梯度去更新每个权重：
Δωn=mΔωn−1−α∂L∂ωnΔωn=mΔωn−1−α∂L∂ωn
其中mΔωn−1mΔωn−1为上一次权重的更新值，且m∈[0,1]m∈[0,1]；而∂L∂ωn∂L∂ωn即上面我们求到的每一个梯度。
例如每次更新ωiϕωiϕ的ΔΔ量即：
Δωniϕ=mΔωn−1iϕ−αxiδtϕΔωiϕn=mΔωiϕn−1−αxiδϕt
其中δtϕδϕt即Forget Gate的梯度。
三、总结
以上就是LSTM中的前向和反向传播的公式推导，在这里作者仅以最简单的单个Cell的场景进行示例。
在实际工程实践中，常常会涉及到同一时刻多个Cell且互相之间的Gate存在连接，同时上一个时刻或下一个时刻的Cell和三个Gate之间同样存在复杂的连接关系。
但如果读者能够明晰上述的推导过程，那么无论多复杂都能够迎刃而解了。