李群李代数

**在SLAM中位姿（位置和姿态）是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。**一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最有的R，t,使得误差最小化。
旋转矩阵自身带有约束，将旋转矩阵最为优化变量时会产生额外的约束使得优化变得困难。通过李群李代数间的转换关系，可以将位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。

李群李代数基础

三维旋转矩阵构成特殊正交群SO(3)，变换矩阵构成特殊欧式群SE(3):

李群是指具有连续（光滑）性质的群，SO(n)和SE(n)在实数空间上是连续的 ，（刚体能够连续的在空间中运动，所以是李群）。每个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群的局部性质。
so(3)(李代数)的元素是3维向量或者3维反对称矩阵，

so(3)与SO(3)的指数映射如下：

由于$\phi$ϕ是三维向量，我们可以定义它的磨成和它的方向，分别记作$\theta$θ和于是有$\phi$ϕ = $\theta$θa.
通过化简可得到如下式子：

李代数so(3)实际上就是所谓的旋转向量组成的空间，而指数映射就是罗德里格斯公式
李群李代数相互转化关系如下：

李代数求导与扰动模型

李代数求导与扰动模型在位姿估计中具有重要的意义
BCH公示表明：两个旋转矩阵相乘不等于两个对应的李代数做加法
BCH公式：

BCH线性近似表达：