三门问题

本文摘自我的公众号【车子的心智探索】

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题目

三门问题，也叫蒙提霍尔问题或山羊问题。这个问题最早出自美国一档电视节目，此节目的主持人叫蒙提霍尔。

假设你是参赛者。你面前有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，而另外两扇门后面各有一只山羊。当然汽车值钱，你希望选中藏有汽车的那扇门。

游戏规则是：你选定一扇门，但先不开启，知道答案的主持人会开启剩下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。然后主持人问你，要不要换另一扇仍然关上的门？

你或者换，或者不换。之后，主持人会推开你选择的门，揭晓答案。

请问你是否要换到另一扇门？换句话说，换一扇门会增加你选中汽车的概率吗？

答案

不换，你赢得汽车的概率是 1/3；换，你赢得汽车的概率是 2/3.

分析

是不是题目有点绕？咱们捋捋。三个门，后面分别有汽车、山羊 A、山羊 B.

第一种情况，你选了汽车。

这时候，主持人会随机打开另外两扇门中的一扇，反正它们后面都是山羊，打开哪个都无所谓。这种情况，其实你不应该换，换了就是羊。

第二种情况，你选了山羊 A.

这时候，主持人只能打开藏有山羊 B 的那一扇门，因为他不能把汽车暴露出来。这种情况，你一定要换，不换就是羊。

第三种情况，你选中了山羊 B。

同理，主持人只能打开藏有山羊 A 的那一扇门。你应该换。

捋完了，似乎已经给出了答案。三种情况，如果不换，只有第一种可以赢得汽车，概率是 1/3；如果换，后面两种可以赢得汽车，概率是 2/3.

以上分析过程用图来说明：

只看左边，是不换的情况，1/3 的概率选择汽车；看右边，是换的情况，2/3 的概率选择汽车。

如果你觉得上图不够严谨，可以看看这张树形图：

接下来，从先验概率和后验概率的角度，介绍另外一种解法。

我们把门从左至右编号为 1，2，3.

从先验概率来看，这三个门后面有汽车的概率都是 1/3.

假设你选择了 1 号门。根据规则：

如果 1 后面藏有汽车的话，那么主持人打开 2 和 3 的概率各为 1/2。

如果 2 后面藏有汽车的话，那么主持人打开 3 的概率为 1。

如果 3 后面藏有汽车的话，那么主持人打开 2 的概率为 1。

这些概率是条件概率，在图的左侧和右侧标出。

进一步，算出四种情况的概率。

此时，主持人打开了门 2 ，所以“开 3”的两种可能性被排除掉（用灰色表示）。剩余可能性如下图：

（1有车的后验概率）：（3有车的后验概率）=（1/6） ： （1/3） = 1：2

因为这两个概率的总和是 1，所以，当主持人打开 2 的时候，1 后面有汽车的概率是1/3，3 后面藏有汽车的概率是 2/3。由此可见，你应该换 3。

补充

三门问题是多门问题之中最难的情况。不妨思考这样一种极限情况：有 1000 个门，当你选择 1 扇后，主持人帮你打开另外的 998 扇门，这些门后面都没有汽车。请问你会换吗？当然会，因为你第一次就选对的概率是 1/1000. 这时候，对于剩下的那扇门，后面有汽车的概率是 999/1000.

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参考资料

【1】维基百科：蒙提霍尔问题.

【2】小岛宽之.(2018).统计学关我什么事:生活中的极简统计学.北京时代华文书局.