频域分析之对数频率稳定判据

由之前的博客 奈奎斯特稳定性判据的推导 可知，奈奎斯特稳定性判据的关键是根据开环频率特性曲线(奈奎斯特曲线/幅相特性曲线)来确定穿越次数$N$N,即$G(jw)H(jw)$G(jw)H(jw)曲线逆时针包围$-1+j0$−1+j0点的次数；而所谓对数频率稳定判据，就是将奈奎斯特稳定性判据由奈奎斯特图推广到波德图上；

奈奎斯特曲线(幅相特性曲线)对$-1+j0$−1+j0点之左侧实轴的穿越(注意，只有对左侧实轴的穿越能形成对对$-1+j0$−1+j0点的包线，该点右侧的穿越为无效穿越)等价于：波德图中，相频特性曲线对$\phi=-180^{\circ}$ϕ=−180∘线的穿越。同样的，定义相角增大的穿越为正穿越，相角减小的穿越为负穿越。

由此引出系统的对数频率稳定判据：系统的闭环右极点数为$Z=P-2N$Z=P−2N，$N$N是相频特性曲线对$\phi=-180^{\circ}$ϕ=−180∘线的穿越次数，若$Z=0$Z=0系统闭环稳定，否则系统闭环不稳定。

同样的，与奈奎斯特稳定性判据相同，对数频率稳定判据也需要考虑半次穿越和画补线的问题，当系统的开环传递函数型别不为0时，需要画出补线(从零频率对应的相角处，沿相角增大方向，补$v90^{\circ}$v90∘的补线即可)

例：

如上图所示，

奈奎斯特曲线对$-1+j0$−1+j0点之右侧实轴的穿越为无效穿越，对应幅相特性曲线中对穿越频率之右的穿越(穿越频率对应幅值为1的频率值，在奈奎斯特曲线中做圆心在原点，半径为1的单位圆，很容易看出：对$-1+j0$−1+j0点之右侧实轴的穿越对应的频率要大于穿越频率)，故c点为无效穿越。

$Z=P-2 N=P-2\left(N_{+}-N_{-}\right)=0-2 \times(1-1)=0$Z=P−2N=P−2(N+​−N−​)=0−2×(1−1)=0

系统闭环稳定。

又如系统：

$G(s)=\frac{K\left(\frac{1}{3} s+1\right)}{s(s-1)}$G(s)=s(s−1)K(31​s+1)​

其波德图(幅相特性曲线)如下：

其为1型系统，在零频率对应相角处补$90^{\circ}$90∘的补线(画成实轴的垂线即可)；

其相频特性曲线对应半次负穿越和一次正穿越；则根据对数频率稳定判据：

$Z=P-2 N=1-2\left(N_{+}-N_{-}\right)= 1-2 \times\left(1-\frac{1}{2}\right)=0$Z=P−2N=1−2(N+​−N−​)=1−2×(1−21​)=0

系统闭环稳定，可见当系统含有不稳定环节(或非最小相位环节)时，系统也可能闭环稳定