6.物体的几何表示——参数曲面+参数曲线

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目录

1.参数曲面

2.参数曲线——Bézier曲线

3.参数曲线——B-样条曲线

4.参数曲线——NURBS曲线

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1.参数曲面

用参数表示曲面。

直线段的参数表示

直线段P0=（x0,y0,z0），直线段P1=（x1,y1,z1）

则点R(t)可以表示为：R(t) = (1-t)*P0 + t*P1（t在0-1范围内），并且R(0)=P0，R(1)=P1。

三维参数形式为：R(t) = (x(t), y(t), z(t))

即：参数空间的每一个t表示直线段上的每一个点R(t)。

双线性四边面片

四边面片的四个顶点P0、P1、P2和P3对应于参数曲面的四个角点R(0, 0)、R(1, 0)、R(1, 0)和R(0, 1)

空间参数曲面：R(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

 即：参数空间中每一点(u,v)对应于曲面上一点R(u,v)

2.参数曲线——Bézier曲线

n次Bézier曲线：

其中称为Bernstein基函数：

性质

（1）对称性：控制顶点的几何地位是对称的。

（2）凸包性：曲线位于绘制多边形的凸包内（如下图）。

（3）几何不变性：其形状仅仅与控制多边形有关，与坐标系无关。

曲线不足

• 当移动一个控制顶点时，整条曲线形状都会改变。
• 对于复杂形状，需要多条曲线进行拼接。

3.参数曲线——B-样条曲线

B样条曲线是分段连续的多项式曲线。

设U 是n + 1个非递减数的集合，u0 <= u1 <= u2 <= ... <= un。ui 称为节点，集合U 称为节点向量，半开区间[ui, ui+1) 是第i个节点区间。

定义在节点向量u={u0, u1, …, ui, …, un+k+1 }上的k阶(k-1次)、具有(n+1)个控制顶点的B-样条曲线为：

其中为控制顶点。

为单位化的B-样条基函数。

同时，约定：

性质

• 凸包性
• 几何不变性
• 局部性：移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部分。

曲线优点

• 曲线多项式独立于控制点数目
• 允许局部控制曲线or曲面

曲线不足

• 比bezier曲线更加复杂

4.参数曲线——NURBS曲线

NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline)：非均匀有理B-样条的简称

其公式为：

与的含义与B-样条曲线相同。

称为权因子，是B-样条基础上新增加的曲线控制手段。

每一个权因子对应一个控制顶点。当所有权因子为1时，即为B-样条曲线。

权值越大，越靠近控制点。

下图为权因子对曲线形状的影响：

 

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