算法导论 2.1-3 线性查找问题

考虑以下查找问题。

输入：n个数的一个序列 A = <a1, a2, ... , an> 和一个值 v 。

输出：下标 i 使得 v = A[i] 或者当 v 不在 A 中出现时，v 为特殊值 NIL 。

写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找 v 。使用一个循环不变式来证明你的算法是正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

以下是循环不变式的证明。

初始化：首先证明在第一次循环迭代之前（当 j = 1 时），循环不变式成立。这时子数组为空，由于子数组没有任何数据，即没有找到任何匹配 v 的下标 i，这时 i 为特殊值 NIL （已被初始化）成立。

保持：其次处理第二条性质， for 循环体每次都会将 j 的下标迭代 1，由于数组 A[1..j-1] 没有找到 v （如果找到，循环早已因为 while 语句的 i != NIL 的条件判定结束）。那么只需要知道 A[j] 是否等于 v，即可知道 A[1..j] 是否存在 v。

终止：最终算法会在 j = A.length + 1 或者 i != NIL 的情况下终止，考虑到不管是否能找到 v，由于每次迭代 j 都会增加1，所以最终循环必然能够终止。且当 j = A.length + 1 时，我们知道 A[1..j]已经被完整查找了一遍，如果找到了 v，则 i 为对应下标，如果没有找到 v，则 i 依然为初始值 NIL。另一方面，不管 j 是否为 A.length + 1，当 i 不为 NIL 时，说明我们已经在数组中找到了等于 v 的值的下标 i，循环终止。由此可知该算法是正确的。