统计学：概率计算

一、概率

概率的量度尺度是0-1，如果某件事不可能发生，则其概率为0；如果某件事肯定会发生，则其概率为1。

二、维恩图

画一个方框代表样本空间S，然后画几个圆圈代表各个相关事件，这种图被称为维恩图。

三、对立事件与互斥事件

“A不发生”事件有一种简便表示方法—— A′。A′被称为A的对立事件。且P(A′) = 1 – P(A)。

如果两个事件是互斥事件，则只有其中一个事件会发生。

四、相交事件

如果两个事件相交，则这两个事件则有可能同时发生。且P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)。

如果P(A∪B) = 1，则我们说A与B穷举。

如果事件A与事件B为互斥事件，则P(A∩B) = 0。

如果事件A与事件B为穷举事件，则P(A∪B) = 1。

五、条件概率

如果要表示以另一个事件的发生为条件的某个事件的发生概率，我们就用“|”符号表示“已知条件”，于是，“以事件B为已知条件的事件A的概率”就可以简写为：P(A|B)。

此公式的变形为：P(A∩B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)。

六、概率树

使用概率树能够得心应手地处理条件概率。

七、全概率公式

假设要求P(A|B)，并且知道上面的概率树上所显示的信息，请问如何求出P(A|B)。

依据之前的条件概率公式，欲求P(A|B)，需先求P(A∩B)与P(B)。

（1）先求P(A∩B)

根据之前条件概率公式的变形：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

（2）再求P(B)

事件B有两种发生方式：与事件A一起发生，不与事件A一起发生。即可以利用下式求出P(B)：

P(B) = P(A∩B) + P(A′∩B)

根据概率树上得知的概率，重写这个式子：

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

P(A′∩B) = P(A′) × P(B|A′)

于是：

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A′) × P(B|A′)

此公式便被称为全概率公式。

从概率树的角度来看，就是将这些分支的概率相加，求出P(B)。

八、贝叶斯定理

贝叶斯定理提供了一种计算逆条件概率对方法：

从概率树的角度来看，不难推算出这一定理：

九、相关事件与独立事件

如果P(A|B)与P(A)不等，则我们说事件A与事件B是相关事件——这等于说事件A与事件B的概率相互影响；

而对于独立事件来说：P(A|B) = P(A)，也就是说事件A与事件B的概率不会相互影响。

先前我们已经知道：

如果事件A与事件B是独立事件，则P(A|B) = P(A)，所以对于独立事件来说：

即：

换句话说，如果两个事件相互独立，则通过将两个事件各自的概率相乘，可以算出同时发生这两个事件的概率。