概念
- 线段树也可与称为区间树
- 线段树同时也是一个二叉树
- 树上的每个节点对应于一个区间（线段），区间的头和尾都是整数
- 同一层的节点所代表的的区间不会重叠
- 叶子结点的区间就是单位长度，不可拆分
  
  总结：线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。a,b通常是整数。每一个叶子节点表示了一个单位区间(长度为1)。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为 [a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为 [(a+b)/2+1,b] (保留整数部分)。
图示

区间[1,9]的线段树

解释：（理解即可）
线段树的平分构造，实际上是用了二分的方法。若根节点对应的区间是[a,b],那么它的深度为log2(b-a+1) +1 (向上取整)。

叶子节点的数目和根节点表示区间的长度相同.

线段树节点要么0度，要么2度, 因此若叶子节点数目为N, 则线段树总结点数目为2N-1
区间的分解

在区间[1,9]上对[2,8]的分解

分解规则：
如果有某个节点代表的区间，完全属于待分解区间，则该节点为“终止” 节点，不再继续往下分解,所有“终止”节点所代表的区间都不重叠，且加在一起就恰好等于整个待分解区间
应用举例：

给你一个数的序列A1A2…An。并且可能多次进行下列两个操作:
1、对序列里面的某个数进行加减
2、询问这个序列里面任意一个连续的子序列AiAi+1…Aj的和是多少。希望第2个操作每次能在log(n)时间内完成

方法：
if 如果走到节点[L,R]时，如果要查询的区间就是[L,R] (求AL到AR的和)那么直接返回该节点的Sum，并累加到总的和上;
else 如果不是，则:
对于区间[L,R]，取mid=(L+R)/2;
然后看要查询的区间与[L,mid]或[mid+1,R]哪个有交集，就进入哪个区间进行进一步查询。

（因为这个线段树的深度最深的LogN，所以每次遍历操作都在LogN的内完成。但是常数可能很大。）
poj相关习题（可去poj官网查看)

POJ 3264 Balanced Lineup
POJ 3468 A Simple Problem with Integers
POJ 2528 Mayor’s posters
POJ 1151 Atlantis
POJ 3321 Apple Tree

树状数组

定义

树状数组
树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构

对于序列a，我们设一个数组C
◦ C[i] = a[i – 2^k + 1] + … + a[i]
◦ k为i在二进制下末尾0的个数
◦ 2^k就是i 保留最右边的1，其余位全变0 ◦ i从1开始算!
C即为a的树状数组
k的含义，如何求k?

2^k = lowbit(x) = x&(-x)
通常我们用lowbit(x)表示x对应的2k , lowbit(x) = x&(-x)
lowbit(x) 实际上就是x的二进制表示形式留下最右边的1，其他位都变成0
举些例子公式C[i] = a[i-lowbit(i)+1] + …+ a[i]
C1=A1
C2=A1+A2
C3=A3
C4=A1+A2+A3+A4
C5=A5
C6=A5+A6
C7=A7
C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
…
C16=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+A11+A12+A13+A14+A15+A16

图示
好处

树状数组的好处在于能快速求任意区间的和a[i] + a[i+1] + … + a[j]。

设sum(k) = a[1]+a[2]+…+a[k]则 a[i] + a[i+1] + … + a[j] = sum(j)-sum(i-1)

有了树状数组，sum(k)就能在O(logN)时间内求出， N是a数组元素个数。而且更新一个a的元素所花的时间也是O(logN)的(因为a更新了C也得更新)。

解释：
根据C的构成规律，可以发现sum(k)可以表示为: sum(k) = C[n1]+C[n2] + …+ C[nm]
其中 nm= k
ni-1 = ni - lowbit(ni) 而且 n1 – lowbit(n1 ) 必须等于0,
n1大于0
如:sum(6) = C[4]+C[6]
补充

有关于一些树状数组的证明，读者可以自行查询，过程比较复杂。
poj相关习题（可去poj官网查看)

2182, 2352, 1177, 3667,3067

代码实现

lowbit(i)

#define lowbit(i) ((i) & (-i)) //可以直接使用一个宏定义

树状数组的区间维护

我们利用数组查找时候O(1)的特点，直接修改对应的数值，即：tree[index] = n。这样是最开始的一步，接下来就是维护了。我们从index开始，根据lowbit进行遍历，即：i += lowbit(i)，每次循环就将tree[i] += n，这样就保证的了树状数组的更新。
```
void updata(int x, int v) {
    for (int i = x; i < maxn; i += lowbit(i)) {
        tree[i] += v;
    }
}
```
跟线段树一样，操作是非常多变的，具体的操作有具体的写法，这里就随便写一个操作了。里面NUM这个全局变量，很明显是数据的总长度，设置成全局变量了，当然作为参数由外面传进来也是可以的。
树状数组的区间查询

这里的区间查询很明显能感到是比线段树简单很多的，或者说查找的是前缀和。例如我们查找20，得到的是1-20的和，只能得到前缀无法得到具体的区间值。不过问题不大，我们可以通过求两次取差的方法获取区间值，例如：find(right) - find(left)。不过如果是大量的区间运算，麻烦一点写成线段树更好。

跟更新相反，我们从index开始，利用lowbit进行递减，就可以一直减到1，就可以求出前缀和了。
```
int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {
        sum += tree[i];
    }
    return sum;
}
```

模版

#include<iostream>
#include<string>
 
using namespace std;
 
int tree[100010];
int NUM = 100005;

 
void update(int index,int n){
    for(int i = index;i < NUM;i += (i&-i)){
        tree[i] += n;
    }
}
 
int query_sum(int n){
    int ans = 0;
    for(int i = n;i > 0;i -= (i&-i)){
        ans += tree[i];
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    
    system("pause");
    return 0;
}

例题

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L3-002 特殊堆栈
堆栈是一种经典的后进先出的线性结构，相关的操作主要有“入栈”（在堆栈顶插入一个元素）和“出栈”（将栈顶元素返回并从堆栈中删除）。本题要求你实现另一个附加的操作：“取中值”——即返回所有堆栈中元素键值的中值。给定 N 个元素，如果 N 是偶数，则中值定义为第 N/2 小元；若是奇数，则为第 (N+1)/2 小元。

#include<iostream>
#include<stack>
#define lowbit(i) ((i) & (-i))
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 1;
int tree[maxn]; //记录的是数i的位置
stack<int >cp;

void updata(int x, int v) {
    for (int i = x; i < maxn; i += lowbit(i)) {
        tree[i] += v;
    }
}
int getsum(int x) {
    int sum = 0;
    for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {
        sum += tree[i];
    }
    return sum;
}
void PeekMedian() {
    int left = 1, right = maxn;
    int mid ,k = int((cp.size() + 1) / 2);
    while (left < right) {
        mid = (left + right) / 2;
        if (getsum(mid) >= k) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    cout << left << endl;
}
int main() {
    int n,key;
    string s;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> s;
        if (s == "Push") {
            cin >> key;
            cp.push(key);
            updata(key, 1);
        } else if (s == "Pop") {
            if (cp.empty()) {
                cout << "Invalid" << endl;
            } else {
                int tem = cp.top();
                updata(tem, -1);
                cout << tem << endl;
                cp.pop();
            }
        } else if (s == "PeekMedian") {
            if(cp.empty()) {
                cout << "Invalid" << endl;
            } else {
                PeekMedian();
            }
        }
    }
    return 0;
}

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