07、极限

因为之前的内容，都是直观性的讲解，所以本节是要准确的给出3个定义：

G1、导数的正式定义

下面写法等价，$\frac{df}{dx}(2)= \lim _{x \to 0 }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$dxdf​(2)=limx→0​hf(2+h)−f(2)​

导数指函数$f$f，当$dx$dx逼近于0时，$f$f逼近于某个值时（上例为2）的变化，（不是$dx$dx取无穷小）

主要注意，$dx$dx本身包含逼近于零时的含义，而$h$h的写法则需要明确这件事。

G2、极限的定义

考虑上面两张图的函数，都在0点位置断点，因为当$h=0$h=0，分母为0，但是下面的函数不存在极限$\lim_{h \to 0} f(h)$limh→0​f(h)

因为第一个函数在函数断点处，两侧取一个范围$\delta$δ,对应会有一个函数值的范围$\epsilon$ϵ，在此范围内，$\delta$δ和

$\epsilon$ϵ，一一对应。

而第二个函数则不能。

G3、洛必达法则

如下图函数，由于$f(a)=0,g(a)=0$f(a)=0,g(a)=0，所以在a点无法计算，他们的商。

可以采用，极限的方式:$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$limx→a​g(x)f(x)​，对其分别求极限值，然后求商，如下图：

实际上，因为，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。洛必达法则，就是用来求这个值的。

除了零比零形式，还有无穷比无穷 ，基本形式。洛必达法则

08、积分和微积分基本定理

正式定义：牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿-莱布尼茨公式
本节只是形象的解析这个公式：求导与积分，为互逆运算

如下图，车辆的形式速度的曲线，其下方的面积就是其积分（即原函数）

例如$v(t)=t(8-t)$v(t)=t(8−t)，其原函数有多个，但是在[0,8]区间积分，有唯一值$\int_0^8v(t)dt$∫08​v(t)dt

需要注意，如果图像在x轴下方，则为负值。

09、面积和斜率有什么关系？

如下图，如何求$sin(x)$sin(x)在$[0,\pi]$[0,π]之间的平均值？

毫无疑问，求面积除与长度。求面积就需要，原函数。

$sin(x)$sin(x)的原函数是$-cos(x)$−cos(x)，从下图可见，求出来的值，应该是原函数在两点之间的斜率！

这个也好解析：斜率是$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ΔxΔy​，斜率在两点之间的平均，就是两点之间的累积和之比。