线性回归

一、相关理论基础

1.1 线性

线性并不等于直线。线性函数的定义是：一阶（或更低阶）多项式，或零多项式。当线性函数只有一个自变量时，y = f(x)；

如果有多个独立自变量,表示为：

1.2 极大似然估计

定义：从样本中随机抽取n个样本，而模型的参数估计量使得抽取的这n个样本的观测值的概率最大。最大似然估计是一个统计方法，它用来求一个样本集的概率密度函数的参数。

二、线性回归

定义：

回归在数学上来说是给定一个点集，就能够用一条曲线去拟合之。如果这个曲线是一条直线（超平面），那就被称为线性回归。若不是一条直线则称为非线性回归，常见有多项式回归、逻辑回归等。

线性模型优劣：

优点：结果易于理解，计算上不复杂；

缺点：对非线性的数据拟合不好；

2.1 线性回归模型

一般线性模型表示：

2.2 最小二乘法

最小二乘法是基于均方误差最小化来进行模型求解的方法，最小二乘法试图找到一条直线，使所有的样本到直线上的欧式距离之和最小。

线性模型用一个直线(平面)拟合数据点，找出一个最好的直线(平面)即要求每个真实点距离平面的距离最近。即使得残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）最小：

另一种情况下，为消除样本量的差异，也会用最小化均方误差（MSE）拟合：

三 求解

3.1 求解-正规方程法

因此知道特征矩阵以及标签就可以求出相应的权重。

3.2 求解-梯度下降

梯度下降法基于的思想为：要找到某函数的极小值，则沿着该函数的梯度方向寻找。若函数为凸函数且约束为凸集，则找到的极小值点则为最小值点。

梯度下降基本算法为： 首先用随机值填充θ（这被称为随机初始化），然后逐渐改进，每次步进一步(步长α)，每一步都试图降低代价函数，直到算法收敛到最小。

求解梯度常见有以下几个方法：

批量梯度下降(Batch Gradient Descent，BGD)

批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新。

优点：得到全局最优解；易于并行实现
缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢

随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)

随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：

优点：训练速度快
缺点：准确度下降，可能跳出最优解，不是全局最优

小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

进行迭代时选用部分样本， 1<x < m

四 模型评估

回归评价指标 MSE(均方误差)、RMSE(均方根误差)、MAE(平均绝对误差)、R-Squared；Sklearn 中使用R-squared。