007 Kalman Filters

其实就是Matlab教学视频的理解

视频地址
https://www.mathworks.com/videos/series/understanding-kalman-filters.html
知乎大神的解释
https://zhuanlan.zhihu.com/p/129370341
https://zhuanlan.zhihu.com/p/129694693
wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

你碰到一个人，给你的帅气打十分，你自己给自己打八分，那你实际有多帅呢？你不断地碰到更多的人，怎么用这些数据估计自己最真实客观的颜值呢？Kalman Filters可以神奇地帮你去除那些噪声

简介

在统计和控制理论中，卡尔曼滤波（也称为线性二次估计（LQE））是一种算法，该算法使用随时间推移观察到的一系列测量值（包含统计噪声和其他误差），并生成未知变量的估计，而这些估计往往会通过估计每个时间范围内变量的联合概率分布，比仅基于单个测量的结果更准确

通俗解释

1 房间温度

你在一个房间，可以通过温度计和自己的感觉获得两个温度（包含噪声），然后根据这两个温度你给出一个实际温度的猜测温度，随着时间的推移，你不断地重复这个操作，你怎么让猜测的温度更接近实际温度，更可靠准确。直接取两个温度的平均值吗？

2 火箭尾焰温度

火箭的尾焰温度很高，不能直接测量，需要把传感器放在紧靠尾焰，温度较低的外部。

通过一个温度传导公式，你可以通过外部温度获得尾焰温度，你也可以根据以前加入的所有燃料，通过火箭模型，计算出外部温度，尾焰温度，燃料在不断地添加的过程中，你怎么通过测量获得估计和火箭模型获得的估计，估计真实的尾焰温度。注意这是一个过程，你在不断地给出估计值，你要做的是，让你的估计不要偏离实际温度，并且尽可能越来越接近真实值，即使被外星人攻击了，短暂地偏离了，也能快速地拉回来

3 自动驾驶

你很缺钱，参加一个自动驾驶比赛，比赛规定每辆车跑1km，测试100次，谁的车停的离终点线最近，谁就赢得100万。要想赢，这一百次你的平均距离要接近1km（均值接近1km），并且每次都尽可能接近1km（方差小）。

你很牛，知道了每个加速减速的操作以后，车子不用跑，用一个模型就计算出了每个时间的位置，速度，你还能通过GPS实时获取车子的位置，然后你有了两个位置，怎么通过这两个位置估计车子实际跑时候的位置，并且使得这个估计越来越准？

为什么这个问题可以有解

虽然测量估计和实际环境都有噪声，但这个噪声一般来说都是服从高斯分布或者其他分布的。测量估计和模型估计的可信度可以通过大量实验增加其可靠度，即使你刚开始的猜测不靠谱，这个算法也可以像梯度下降那样，让你很快变得可靠

State Estimator（状态估计器）

火箭尾焰温度的估计可以用下图的状态估计器描述。$\hat{T}_{in}$T^in​、$\hat{T}_{ext}$T^ext​是模型预测的内部温度。通过K将模型预测值$\hat{T}_{ext}$T^ext​和测量值${T}_{ext}$Text​联系起来，将他们的差反馈给模型，用于改进预测可靠度。

• $x$x：当前状态（k时刻实际内部温度）
• $y$y：测量状态（k时刻测量外部温度）
• $u$u：控制向量（k时刻添加燃料量）
• $A$A：状态转移模型（k时刻状态转向k+1时刻）
• $B$B：输入控制模型（输入对状态转移的作用）
• $C$C：观测模型（真实值转向观察值）
• $K$K：Kalman 增益
• $\dot{x}$x˙：当前状态的一阶导数，也就是当前状态的变化趋势，有时这里会是$x(k+1)$x(k+1)，也就是下一状态，其实都是一样的
• 戴帽子的其他变量都是模型预测值
• ${e}_{obs}$eobs​：预测的误差，我们希望它越小越好。

从下图可以看出，通过调节$A-KC$A−KC我们可以让我的估计误差以指数性质逼近实际值

没有$K$K其实也可以，但是有了$K$K可以更方便调节，也更快

Kalman Filters

自动驾驶的例子也是相似的，只不过多了两个噪声$w_k$wk​、$v_k$vk​，他们满足正态分布。从概率分布来看，通过将预测值$\hat{x}_k$x^k​和观察值$y_k$yk​的概率分布相乘，我们可以得到一个更可靠的预测值$\hat{x}_k$x^k​

从State observer到Kalman filter，Kalman filter其实就是一种State observer。

• $\hat{x}^-_k$x^k−​：模型预测值的预测值
• $\hat{x}_k$x^k​：同时考虑测量值和模型预测值的预测值
  
  
  Kalman filter是处理一种动态的过程，也就是不断有新的观测值和测量值，要不断地更新预测值，不断地靠近真实值，如何更新呢
• ${P}_k$Pk​：模型预测值$\hat{x}_k$x^k​的variance(变动)
• $Q$Q、$R$R：白噪声的方差，也是一种变动
  
  更新过程：
• 知道了$A$A、$B$B、$Q$Q、${u}_1$u1​、${P}_0$P0​（初始值）、$\hat{x}^-_0$x^0−​（初始值），可以得到$\hat{x}^-_1$x^1−​、${P}^-_1$P1−​
• 知道了$C$C、$R$R、计算得到的${P}^-_1$P1−​，算出${K}_1$K1​、${P}_1$P1​，根据你的测量值${y}_1$y1​，计算同时考虑了模型前预测值、测量的后预测值
• 周而复始

视频介绍了两种极端情况便于理解。

$R$R=0，这说明测量时，内部温度到外部温度的转移模型非常好，基本没有噪声，那测量值的可信度就非常高

${P}^-_k$Pk−​=0，这说明数学模型很好，预测出来的变化很小，预测的可信度很高

这些公式怎么推导的？数学不好，请自行搜索

EKF、UKF、PF

KF是针对线性系统的，对于非线性系统，又出现了一些扩展