数据压缩第十次作业：完全重建QMF滤波器组的相关知识

本次的作业文献资料《完全重建QMF滤波器组的设计》的理解和应用，接下来，我将先简要介绍一下，通过阅读文献所获得的知识：
文章所给出的是从信号处理的角度来对两通道完全正交镜像滤波器组的理论。文献中主要提出的是基于matlab的完全重建QMFB的方法，在本文的学习中，我也会运行其matlab的程序来进行仿真，得出其仿真结果。
1.两通道正交镜像滤波器组理论：
滤波器的构造如图所示：

从这个图我们可以看出来，他的结构就是一个输入的信号在输入滤波器之后被分成了K个子频带信号，通过抽取和插值再经过带通滤波即可重建出原来的信号。
其中，我们最后输出的信号和原来输入的信号，又满足如下的关系：

其对应的频域的关系为：

其中，公式中的c和n0都是固定的常数，输出的信号称为输入信号的完全重建信号，也可以说，输出信号是输入信号的延迟样本。
由于在重建过程中，我们很难保证重建之后的信号和原始信号一致，一般都会存在混叠失真、幅度失真、相位失真和量化失真，所以我们在设计滤波器的时候就需要想办法处理这些失真所导致的误差，将这些误差降低。
对于混叠失真：

如果有：

那么，我们 就可以称该滤波器组为正交镜像滤波器组，而且此时滤波器的幅度特性满足：

从而也就可得;

其中：如果H0为低通，那么其他的几个滤波器就为高通滤波器；反之亦有相似原理。
2.实现完全重建滤波器的解决方法：
（1）使用FIR QMF滤波器组，去除相位失真的前提下，也尽可能减小幅度失真
（2）使用IIR QMF滤波器组，去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现完全重建
（3）修正QMF滤波器，以实现完全重建。
3.完全重建滤波器的仿真实现：
步骤一：确定N值，这一步中需要先选定一个合适的w值，而后在不同输入信号的前提下，不断改变N值，并求出此时所对应的MSE，从而比较得出最合适的N值
步骤二：确定w值，这一步和上一步很相似，只是此时我们假定N是已知，w是要求的，同样是比较MSE即可求出最合适的w值
通过以上两步骤的计算，文献中给出了N的最佳值为41，w的最佳值为0.43，从而便可以根据这个来设置滤波器了。
通过运行文献中最后给出的程序，我们可以得到;
figure1&2:


figure1中所输出的波形为滤波器H0和滤波器H1的幅度响应，figure2中输出的图片则是两者的幅度响应的差值。
而后matlab的代码继续给出了三个输入信号x1，x2，x3的赋值过程，在给出三个输入信号之后，我们对其进行上文中所提到的相关运算，即实现完全重建滤波器的相关计算操作，从而，我们在此之中，亦可以求得滤波器h0的频率响应figure3：

而后，我们又输出了原信号的波形（figure4）：

也可以得出重建的输出信号，figure5：

而后在通过将原信号和重新信号做差，可以生成figure6，即可看出原图像和重建图像之间的差别（差别在2.5×10的四次方级别，说明差异很小）：

任务2：用MATLAB生成两个100点的序列，并对其进行傅里叶变换，并对比其差异：
结果如下;

生成序列的MATLAB代码如下: