东京大学工学系研究科数学套路总结系列之一【常微分方程式所有解法总结】

1.一阶常微分

a，变数分离法，公式法

b，rikkachi方程式

【给一个特解，然后利用这个特解来求，这个特解可以用两个解相加的方式带进去，也可以利用特解方程式本身做转化，转化成关于y，x的微分方程式来求解。还有一种方式是用变数转换，把式子转化成二阶线性方程式来求解。】

c，贝努利方程式，可以处理一阶常微分中只有一项是多次的情况

d，一阶多次方程式，先考虑是否能做项之间的因数分解

【kurero方程式，特点是x前面的系数是p的一次项。用x做微分，把方程式做成关于p的式子，然后做p的因数分解，含有p的微分项算出来的是一般解，另一个是特意解，特意解表示的是一般解曲线的包络线。有些时候的骚操作来讲的话，就是用p来分别表示x和y，然后做x，y的常微分方程式来求解。】

【拉格朗日方程式，特点是x前面的系数是p的随便什么都可以。可以用x做微分来构造因数分解，或者把式子看成对x做p的微分方程式，用p来分别表示x和y，最后消掉p去求解x，y。另一种操作是把x放在方程式左边来表示，然后同时对y做微分，三个项x，y，p互相都可以随时表示，代到原式去里消符号。】

e，式子的变换操作

【比较好想到的是，式子里有复杂函数的情况，经常做的变换有把复杂的部分直接用u变化，或者是设x平方，y平方分别为其他变量u和v，把式子转换成关于u和v的微分方程式。】

f，集合上的直交截线

【用来求曲线的直交曲线，一定要把式子里的定数项消掉，把定数项用其他项进行表示，再把里面的y一瞥项换成-1/y一瞥项再来求解式子。

极坐标的情况，同样先去消定数项，然后把r一瞥换成-r平方/r一瞥。】

 

总结：最经常考的是关于p的式子【里面有阶数的不用也有次数的不同】，第一个首要目的要去降次，降次的方法主要是因数分解，注意观察式子。第二个可能出现的骚操作是，强行看出一个微分出来可以完美体现这几项的。

 

2.二阶常微分

a，常系数的二阶

先把同次形中的基本解求出来，重复解和复数解的情况的基本解要背下来。

特殊解的求法，待定系数法，演算子法，w行列法。后面在多阶的时候再总结。

 

b，非常系数的二阶

 

【欧拉方程式，y二阶前面有x平方等等的这种规律形式，有自己的特性方程式所以基本解很好解{基本解重解和复数解的情况}因为多阶的欧拉方程式一般是做变数变换后再解，所以转换成多阶常微分的特性方程式，因此不用记多阶欧拉方程式的特性方程式的解的情况。特殊解的求法主要是待定系数法，直接用w行列法的时候要注意r项部分是没做变化时的】

 

【二阶的情况解可以表示成为y等于uv的形式，这种形式解出来的是方程式的基本解。只要知道一个解就能把另一个解求出来，这种情况如果是同次形的话，没给第一个基本解的话，就只能强行看出来一个基本解，一般情况下可以试一下的基本解是，x和x的几次方，e的x次方和e的负x次方，和e的某次方。然后另一个基本解就出来了。但是如果是非同次形要找特殊解的话，二阶还可以处理，因为可以用w行列来求特殊解。三阶以上的话只能用特定系数法来强行解一个，要不就是以p的角度来看去先简化式子了。经常出现的特殊解，x某次方的x的多次项的形式，前面可能有e的x次方的cos和sin的多次项的形式，和前面有x次方的e的某次方的形式。】

 

【实际上实际操作性比较低的标准化方法，主要就是记公式】

 

c，图形上的应用

主要要抓住y一瞥代表的是tan阿尔法角，阿尔法是接线与x的相交角，然后在三角形上其实可以用式子表示要求的图形关系，这个要过一下。

 

总结：二阶的微分方程式解法实际上跟多阶的操作差不太多。主要因为是二阶有几点特殊性，第一，知道一个基本解的话，可以用uv代入式子去求另一个基本解。第二，求特殊解的话，知道两个基本解，就可以用w行列来求特殊解。第三，欧拉方程式的二阶，可以直接用特性方程式来求，特殊解也可以直接用w行列来求。第四，有一个所谓的标准型，实际上操作效果不咋地。

 

3.多阶常微分方程式

a，常系数的多阶

常系数的情况，基本解非常好求。主要是涉及到求非同次的时候的特殊解的情况，如果右边是几项相加的情况，可以考虑单独项的特殊解，然后相加。以下是求特殊解的操作

第一个是，待定系数法

 

待定系数法这个主要是看运气，多试几次的问题。

 

第二个是演算子法，演算子法各种公式

演算子法实际上按道理是可以处理任何微分方程的特殊解问题的，但是实际情况在cos和sin的处理上并没有特定系数法好用，处理inx应该是最好用的。

 

b，多阶欧拉方程式

一句话就是用x替代e的t次方，然后将方程式里的y写成关于t的微分方程式，就回到了多阶常系数的情况。

特殊解在变换之前能不能用特定系数法设出来要考虑一下，一般欧拉方程式特殊解的套路是x，x倍的inx，sininx和cosinx的倍数等等，这个也是看命推的。

要不就是直接换成常系数的情况，然后用演算子来算。

像是sin，cos的演算子只有d平方才能带进去，所以这个时候就把cos或sin看成e的ix次方，当作e去处理，处理完之后取实部或者虚部就行了。

 

4.非线性常微分方程式

第一种操作是在，可以把式子调整成右边只有y项的情况，左边有二阶导，二阶导因为可以分成d/dx*dy/dx*的这种形式，所以左右两边同时乘2dy/dx，把左边做成积分量为d*dy/dx的形式，再左右两边做积分。

第二种操作是，里面有很多y的多阶导数的情况，式子整体做某个导数的除法，去凑左右两边对x积分可以出inx的这种情况。

第三种属于联立方程式中的应用形操作，就是利用临界点，在临界点上去做方程式的线性化

 

5.mit中学到的操作

主要是针对联立方程式，第一种是线性的，线性的情况如果是两个方程式的右边不是对应的变量的话，就可以做解耦这个操作，解耦就是找出矩阵的特征向量的逆向量乘上去，目的是为了同一方程式里的变量。

第二种是非线性的，非线性的第一步找临界点，也就是两个方程式等于0的情况，然后在临界点对方程式做线性化，主要操作是通过其矩阵的j矩阵，直接求线性化后的矩阵就行了。其实东大还介绍了个新操作就是，把临界点的基础上设yuragi，然后带入式子里就可以线性化了。