浅谈零输入响应与RC电路

零输入响应又叫ZIR，它本质上是一阶线性微分方程，它的实例就是如下的RC电路。

根据能量守恒定律：$u_R=u_C$uR​=uC​
欧姆定律：$u_R=Ri$uR​=Ri, 电容的电流：$i=C\frac{du_C}{dt}$i=CdtduC​​
$RC\frac{du_C}{dt}+u_C=0$RCdtduC​​+uC​=0

我们考虑一阶线性齐次微分方程：
$\frac{dy}{dt}+a \ y=0$dtdy​+a y=0
首先移项：
$\frac{dy}{dt}=-a \ y$dtdy​=−a y
把y移到一边：
$\frac{dy}{y}= {-a}\ {dt}$ydy​=−a dt
两边求积分:
$\int\frac{1}{y}\ dy = \int-a\ dt$∫y1​ dy=∫−a dt
$\ln y = -at+C$lny=−at+C
$\rightarrow\ y=e^{-at+C}$→ y=e−at+C
$\rightarrow\ y=e^{-at} \cdot e^C$→ y=e−at⋅eC
$\therefore$∴ 所以y的通解为
$\Rightarrow\ y=C\cdot e^{-at}$⇒ y=C⋅e−at

我们再考虑一阶线性非齐次微分方程：
$\frac{dy}{dt}+a\ y+b=0$dtdy​+a y+b=0
引用上面的结论，我们用b代替C。
$\rightarrow\ y=b \ e^{-at}$→ y=b e−at
两边求导:
$y'=b'\ e^{-at}+b\ (-at)e^{-at}$y′=b′ e−at+b (−at)e−at
回带方程：
$\frac{dy}{dt}+a\ y+b=0$dtdy​+a y+b=0
$\rightarrow b'\ e^{-at}+b\ (-at)e^{-at}+a\cdot b \ e^{-at}+b=0$→b′ e−at+b (−at)e−at+a⋅b e−at+b=0
$\rightarrow b'\ e^{-at}=-b$→b′ e−at=−b
$\rightarrow b'=-b\ e^{at}$→b′=−b eat
两边求积分：
$\int b'=\int(-b)\ dt\cdot\int e^{at}\ dt$∫b′=∫(−b) dt⋅∫eat dt
$b=-bt \cdot \frac{1}{a}e^{at}+C$b=−bt⋅a1​eat+C
$b(1+\frac{t}{a}e^{at})=C$b(1+at​eat)=C
最终得到通解：
$y=C\cdot \frac{a}{(a+te^{at})e^{at}}$y=C⋅(a+teat)eata​