VAE与GAN的关系(1)

VAE（Variational Auto-Encoder）和GAN（Ganerative Adversarial Networks）都是生成模型（Generative model）。所谓生成模型，即能生成样本的模型。我们可以将训练集中的数据点看作是某个随机分布抽样出来的样本，比如：MNIST手写体样本，我们就可将每一幅图像看作是一个随机分布p(x)$p(\mathbf{x})$ 的抽样（实例）。如果我们能够得到这样的一个随机模型，我们就可以无限制地生成样本，再无采集样本的烦恼。但这个随机分布 p(x)$p(\mathbf{x})$ 我们并不知道，需要通过对训练集的学习来得到它，或者逼近它。要逼近一个随机分布，其基本思想是：将一个已知的，可控的随机分布 q(z)$q(\mathbf{z})$ 映射到目标随机分布 p(x)$p(\mathbf{x})$ 上。在深度学习领域中，有两个典型的生成模型：1、VAE，变分自编码器；2、GAN，生成对抗性网络，它们的结构如图1、图2：

图1 VAE结构图

图2 GAN结构图
VAE的工作流程是：
1、在训练集（Dataset）中抽样，得到样本xi${\mathbf{x}}_i$，xi${\mathbf{x}}_i$经过神经网络编码器（NN Encoder）得到一个正态分布（N(μi,σ2i)$N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$）的充分统计量：均值（以图1为例进行解释，μi=(m1,m2,m3)${\mu }_i=(m_1,m_2,m_3)$）和方差（σi=(σ1,σ2,σ3)${\sigma }_{\mathbf{i}}=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$）；
2、由N(μi,σ2i)$N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ 抽样得到 zi${\mathbf{z}}_i$， 已知 zi${\mathbf{z}}_i$ 的分布是标准正态分布 N(0,1)$N(\mathbf{0},\mathbf{1})$；
3、zi${\mathbf{z}}_i$ 经过NN_Decoder得到输出x̂i${\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}$
4、Loss=‖x̂i−xi‖$Loss=\Vert {\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{x}}_i\Vert$，训练过程就是让Loss取得最小值。
5、训练好的模型，我们可以利用Decoder生成样本，即将已知分布 q(z)$q(\mathbf{z})$ 的样本通过Decoder映射成目标 p(x)$p(\mathbf{x})$ 分布的样本。
以上过程可以用图3进行概括。

图3 VAE原理图
为比较VAE和GAN的差异，参考图4，简述GAN的工作原理如下：
1、在一个已知的、可控的随机分布q(z)$q(\mathbf{z})$(e.g.:多维正态分布 q(z)=N(μ,σ2)$q(\mathbf{z})=N(\mu ,{\sigma }^2)$)采样，得到zi${\mathbf{z}}_i$；
2、zi${\mathbf{z}}_i$ 经过生成器映射 G(zi)$G({\mathbf{z}}_i)$ 得到在样本空间（高维空间）的一个数据点 xgi${\mathbf{x}}_i^g$，有 xgi=G(zi)${\mathbf{x}}_i^g=G({\mathbf{z}}_i)$；
3、xgi${\mathbf{x}}_i^g$ 与样本流型（Manifolds）之间的距离在图中表示为 D(‖xgi,x̂gi)=‖xgi−x̂gi‖$D(\Vert {\mathbf{x}}_i^g,{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{g}})=\Vert {\mathbf{x}}_i^g-{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{g}}\Vert$，其中 x̂gi${\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{g}}$ 表示 xgi${\mathbf{x}}_i^g$ 在流型上的投影，生成器的目标是减少此距离，可以将此距离定义为生成器的损失（Loss）。
4、因为不能直接得到样本的流型，因而需要借助判别器(Discriminator)间接地告诉生成器（Generator）它生成的样本距样本流型是“远了”还是“近了”，即判别真（real）和假（fake）正确的概率，一方面要判别器提高判别准确性，一方面又要提高生成器的以假乱真的能力，由此形成了竞争导致的均衡，使判别器和生成器两者性能同时提高，最后我们可获得最优的生成器。
5、理想的最优生成器，能将生成的 xgi${\mathbf{x}}_i^g$ 映射到样本分布的流型中（即图中阴影部分）

图4 GAN原理
由GAN的生成过程，我们可以很直观地得到两个GAN缺陷的解释（详细分析可见《Wasserstein GAN》）：
1、模型坍塌（Model collapse）
GAN只要求将 xgi${\mathbf{x}}_i^g$ 映射至离样本分布流型尽可能近的地方，却不管是不是同一个点，于是生成器有将所有 zi${\mathbf{z}}_i$ 都映射为一点的倾向，于是模型坍塌就发生了。
2、不收敛
由于生成器的Loss依赖于判别器Loss后向传递，而不是直接来自距离 D(xgi,x̂gi)$D({\mathbf{x}}_i^g,{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{g}})$ ，因而若判别器总是能准确地判别出真假，则向后传递的信息就非常少（体现为梯度为0），则生成器便无法形成自己的Loss，因而便无法有效地训练生成器。正是因为这个原因，《Wasserstein GAN》才提出了一个新的距离定义（Wasserstein Distance）应用于判别器，而不是原型中简单粗暴的对真伪样本的分辨正确的概率。Wasserstein Distance所针对的就是找一个方法来度量 D(xgi,x̂gi)$D({\mathbf{x}}_i^g,{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{g}})$。

比较VAE与GAN的效果，我们可以得到以下两点：
1、GAN生成的效果要优于VAE
2、GAN比VAE要难于训练

文章：Variational Inference: A Unified Framework of Generative Models and Some Revelations，原文：arXiv:1807.05936，中文链接：https://kexue.fm/archives/5716。文章来自中山大学 数学学院 苏剑林。文中为两个生成模型建立了统一的框架，并提出一种为训练Generator而设计的正则项原理，它可以作为《Wasserstein GAN》的一个补充，因为WGAN给出的是GAN判别器Loss的改进意见，而该文却是对生成器下手，提出生成器的一个正则项原则。
以下是从变分推断（Variational Inference）角度对两个模型的推导过程：
p(x)$p(\mathbf{x})$ 是真实随机变量的分布，样本集中的数据可认为是从这个分布中抽样出来的样本，它是未知的。我们希望用一个可控的、已知的分布 q(x)$q(\mathbf{x})$ 来逼近它，或者说让这两个分布尽量重合。如何实现这个目标呢？一个直观的思路是：从一个已知的分布出发，对其中的随机变量进行映射，得到一个新的分布，这个映射后分布与目标分布尽量重合。在VAE中，这个映射由Decoder完成；在GAN中，这个映射由Generator来完成。而已知分布可以是：均匀分布或正态分布，例如：随机变量 z$\mathbf{z}$ 服从多维标准正态分布 z∼N(0,1)$\mathbf{z}\sim N(\mathbf{0},\mathbf{1})$，它经过映射得到 xgi${\mathbf{x}}_i^g$，为表述方便我们统一用 G(zi)=xgi，xgi∼q(x)$G({\mathbf{z}}_i)={\mathbf{x}}_i^g，{\mathbf{x}}_i^g\sim q(\mathbf{x})$ 表示经过映射后的随机变量 xg${\mathbf{x}}^g$ 服从分布 q(x)$q(\mathbf{x})$，它与真实变量分布 xr∼p(x)${\mathbf{x}}^r\sim p(\mathbf{x})$ 在同一个空间 X$\mathbf{X}$。我们希望得到尽可能与 p(x)$p(\mathbf{x})$ 重合的 q(x)$q(\mathbf{x})$。
为达到“尽量”这一目标，需要对重合程度进行量化，于是我们定义了一个测度的指标——KL散度：

当p(x)与q(x)完全重合，有 KL(p(x)‖q(x))=0$KL(p(x)\Vert q(x))=0$，否则 KL(p(x)‖q(x))>0$KL(p(x)\Vert q(x))>0$。直接求上述真实分布 p(x)$p(\mathbf{x})$ 与生成分布 q(x)$q(\mathbf{x})$ 的KL散度 KL(p(x)‖q(x))$KL(p(\mathbf{x})\Vert q(\mathbf{x}))$ 有时十分困难，往往需要引入隐变量（Latent Variables）构成联合分布 p(x,z)$p(\mathbf{x},\mathbf{z})$ 和 q(x,z)$q(\mathbf{x},\mathbf{z})$，计算 KL(p(x,z)‖q(x,z))$KL(p(\mathbf{x},\mathbf{z})\Vert q(\mathbf{x},\mathbf{z}))$ 来代替直接计算 KL(p(x)‖q(x))$KL(p(\mathbf{x})\Vert q(\mathbf{x}))$。
（1）GAN的联合分布 p(x,z)$p(\mathbf{x},\mathbf{z})$ 的拟合
GAN在Generator生成了 xgi${\mathbf{x}}_i^g$ 将与真实样本 xri${\mathbf{x}}_i^r$ 一起作为输入x$\mathbf{x}$，进入一个二选一选择器，该选择器以一定的概率（比如说50%）选择其一（选择器可以看成是随机变量 y$y$ ，它服从服从0-1分布）, x$\mathbf{x}$接着进入判决器，判决器判定输入x$\mathbf{x}$的是真实样本（xr${\mathbf{x}}^r$ ），判断为1，或是生成样本（xg${\mathbf{x}}^g$），判断为0，最后输出给定x$\mathbf{x}$判为1的概率。
令联合分布是输入x$\mathbf{x}$ 和选择器 y$y$ 的分布，p(x,y)$p(\mathbf{x},y)$ 表示真实的联合分布，而 q(x,y)$q(\mathbf{x},y)$ 是判别器可控制的联合分布，是为拟合真实分布所设计的分布，由上机制可见，在 q(x,y)$q(\mathbf{x},y)$ 中，x$\mathbf{x}$ 与 y$y$ 其实是相互独立的，因而有：

其中，p1$p_1$ 表示 y=1$y=1$ 的概率，p0$p_0$ 表示 y=0$y=0$ 的概率，有 p1+p0=1$p_1+p_0=1$。若判别器有足够的拟合能力，并达到最优时，则q(x,y)→p(x,y)$q(\mathbf{x},y)\to p(\mathbf{x},y)$，这意味着：

为拟合，由（2）可得两个联合分布KL散度：

令 p1=p0=0.5$p_1=p_0=0.5$，以 KL(q(x,y)‖p(x,y))$KL(q(\mathbf{x},y)\Vert p(\mathbf{x},y))$ 为Loss，因为p1$p_1$、p0$p_0$、p(x)$p(\mathbf{x})$、q(x)$q(\mathbf{x})$ 与判别器参数无关，另外，判别器的输出是 p(y=1|x)=D(x)$p(y=1|\mathbf{x})=D(\mathbf{x})$，因而：

GAN的判别器要尽量分辨两个分布，因而要KL散度尽可能大，因而若(5)式要作为判别器的Loss，则需取反，即：

（6）式与传统GAN判别器Loss分析结果（可参见:https://blog.****.net/StreamRock/article/details/81096105）相同。
讨论完判别器Loss_D，接下来讨论生成器的Loss_G，同样从（4）式入手，此时可调的参数是生成器的参数，p1$p_1$、p0$p_0$、p(x)$p(\mathbf{x})$、p(y=1|x)$p(y=1|\mathbf{x})$ (即D(x)$D(\mathbf{x})$)与生成器参数无关，与之相关的是q(x)$q(\mathbf{x})$，因而有：

最优判决器应该具有如下特性：

（9）式可以从图5，直接得到。

图5 最优判决器
将（9）代入（8）有：

于是可采用（10）作为生成器的损失Loss_G，与传统推导的结果一致。考察（9）式，式中 q(x)$q(\mathbf{x})$ 实际上是不断变化的，因而我们将(9)改造一下，q0(x)$q^0(\mathbf{x})$ 表示前一次生成器的状态，于是有：

比较（10）与（12）发现(12)多了一项 KL(q(x)‖q0(x))$KL(q(\mathbf{x})\Vert q^0(\mathbf{x}))$ ,此为生成器Loss的正则项，它要求q(x)$q(\mathbf{x})$ 与 q0(x)$q^0(\mathbf{x})$ 尽可能小，由此可实现生成器的正则项，详细分析可见：https://kexue.fm/archives/5716