离散傅里叶变换的核心公式

连续傅里叶变换

$X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2 \pi ft}\,dt$X(f)=∫−∞∞​x(t)e−j2πftdt

离散傅里叶变换

指数形式：
$X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j2 \pi nm / N}}$X(m)=n=0∑N−1​x(n)e−j2πnm/N

直角坐标形式：
$X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)[cos(2 \pi nm /N) - jsin(2 \pi nm /N)]}$X(m)=n=0∑N−1​x(n)[cos(2πnm/N)−jsin(2πnm/N)]

欧拉公式

指数形式变换为直角坐标形式，借助于欧拉公式：

$e^{-j \phi } = cos( \phi ) - jsin( \phi )$e−jϕ=cos(ϕ)−jsin(ϕ)

欧拉公式：
$e^{j \phi } = cos( \phi ) + jsin( \phi )$ejϕ=cos(ϕ)+jsin(ϕ)

欧拉公式：
$e^{ \pi j} + 1 = 0$eπj+1=0

参考文献