两类曲线积分的联系较深层解读

在学习两类曲线积分的时候，书上眼花缭乱的公式变来变去的极限，实在是让人脑壳痛。
为了 探索科学的秘密 （期末考试）我顶着头皮发麻的感觉看完了整个过程，由此写下此文。

我们知道他们最后的联系体现在一个公式上,

啊可能这个高亮有点骚，但是还挺有层次感的。

这个公式告诉我们，第二类曲线积分（等号左边）可以用 第一类曲线积分（等号右边）表示，那这是怎么一肥四呢。

等号左边

我们先来看看等号左边，回顾一下第二类曲线积分这个表达式咋来的。（具体的代数证明在书上有，这里不引用啦。）
第二类曲线积分实际上就是求一个向量和曲线上 各个小段弧 的内积之和，只不过这个弧非常非常非常短（这是一个不太行的弧），这个非常非常非常就是取极限的过程。
一开始我们引入了求功的具体实例来讨论向量积分，求功就是求两个向量的内积，不过这两个向量比较好动变来变去的。

我们上面上面那个公式里的是 dx,dy，为什么这里是 △x，△y呢，因为让这个 M1M2 趋近无穷小（也就是取极限）就是dx，dy了。
这是一个比较粗糙的过程但大概就是这样的。

搞完等号左边搞一搞右边，我们要雨露均沾呀。

等号右边

我们要知道等号右边首先要知道等号右边那个 cosα 和 cosβ 是个啥。
我们求积分就是求很多段区间上的和，只不过这个区间被我们无穷小了一下。所以我们只要研究一段无穷小的区间就可，比如上面那个很短的M1M2。
我们在研究右边的时候也同样研究这个 M1M2 ，而上面式子里的 cosα 和 cosβ 其实就是这个很短的 M1M2 的沿着这个曲线的切向量和坐标轴的夹角余弦（因为 M1M2 很短又导函数连续，故任取其一点的切向量即可代表整个 M1M2）。

讲到这里可能会有两点疑惑：

1. 这两种方法都是用内积做的但是结果不一样捏
2. 这两个方法都是用内积做的但是为什么积分变量一个是 dxdy 一个是 ds 捏

这就是我要讲的重点啦。

我们来回顾一下这个积分等式

我们发现左右两边不变的是F从始至终都是那个P,Q，并不像其他的那样变来变去，为什么呢。
我们再来细看一下这两个的几何意义。

我们求F 在 n 方向的增量，其实也可以求他们在x上的增量和在y轴上的增量的和，他们的乘积其实可以被分解任意方向都可以，只是在这里 x，y轴方向比较好理解我们也熟悉（高中物理好像用过这种方法）。

所以我们知道了，为什么P,Q不会变而其他的在等式两边的形式不一样，是因为其他的（比如 dx,dy,cosα，cosβ,ds ）都是和坐标系的选取有关的。

另外关于 为啥左边是 dx,dy，右边是 ds ，其实也是和坐标系的选取有关。
在左边我们对于功的增加是放在 x轴和y轴 上考虑的并将它们作和，而在右边功的增量我们是 放在一段小弧上考虑的。
都是在一个方向上的增量只不过左边将这个增量分解了，所以他们的基本单位就不一样了。（左边是x和y，而右边是一段弧）

我们回过头看看这两个公式的由来

到这里我们就大概知道了，求功就是求内积，但是这个 M1M2 的坐标系可以取不同，所以表现形式也可以不同。

可能有人会问，为啥下面这个是单位向量的呢？两个式子右边一个（△x，△y）和（cosα，cosβ）都是表示 M1M2 但他们的模明明就不一样啊（但是方向相同莫有毛病哟）
为什么呢，其实（cosα，cosβ）表示的并不是 M1M2，因为下面这个公式其实他的后面还带着一个 ds 呀。那段弧的长度的平方可以表示为（△x）²+（△y）² 也可以表示为（ds）² 呀。如果你前面的切向量不是单位向量那才是弧的长度不是一样长的，所以这就是用 cosα，cosβ 的原因。
因为他们的长度是1，一个长度乘以 1 结果还是这个长度（比如这里的ds)

差不多了差不多了。这篇文章又花了我一小时。
你看到的是时间，其实他是青春呀。

最后，欢迎大家补充和改错。（毕竟这都是我自己瞎想然后就来逼逼的，没人和我讨论天天就知道瞎琢磨，累人）