医学统计学笔记之分布
1. 正态分布
正态分布可以记作x～N（μ，σ2），其中μ，σ分别为正态分布的位置参数和形态参数。
1.1 主要特征
- 正态曲线在横轴上方，均数处的纵坐标最高，并与x轴永不相交。
- 正态分布以均数为中心，呈单峰、左右对称分布。
- 在正态分布中，均数、中位数、众数相等。
- 正态分布有两个参数（parameter），即均数是位置参数，标准差是形状参数。
- 正态分布曲线下面积分布有一定规律：
1.2 应用 - 不少医学现象是服从正态分布或近似正态分布。
- 制定医学参考值范围。
- 正态分布是很多统计方法的理论基础，如卡方分布、t分布和F分布等都是在正态分布的基础上推导出来的。
2. t 分布
特征：
① t分布的密度曲线呈单峰，曲线以0为中心，左右对称的单峰分布，t值可以是正数，也可以是负数；
② t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关，自由度一旦确定，则其概率密度曲线的形状也就确定。自由度ν越小，t分布曲线越低平，尾部越高；自由度的ν大，t分布曲线越接近标准正态分布曲线，t分布的极限分布为Z分布。
③ 与标准正态分布相比，曲线最高处较矮，两尾部较高。
3. 二项分布
一般地，在一个n重伯努利试验中，令X表示事件A发生的次数，事件A可能发生0，1，2，…，n次，则随机变量X所有可能的取值为0,1,2,…,n ，而事件A恰好发生k（0≤k≤n）次的概率函数为
称随机变量X服从参数为n和π的二项分布（binomial distribution），记为X～B（n，π）
二项分布是一种离散型概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；参数π是事件A发生的总体概率。
3.1 图形
3.2 均数与标准差
3.3 正态近似
据中心极限定理，在n较大，nπ与n（1-π）均大于或等于5时，二项分布接近正态分布；
当n→∞时，二项分布B（n，π）的极限分布是总体均数为μ=nπ，总体方差为σ2=nπ（1-π）的正态分布N（nπ，nπ（1-π））。此时可用正态分布N（nπ，nπ（1-π））作近似计算。
3.4 应用
在应用二项分布时必须注意，要满足二项分布的3个应用条件：
（1）各观察单位只具有互相对立的两种结果，如阳性或阴性、生存或死亡等。
（2）已知发生某一结果（如死亡）的概率为π，其对立结果的概率则为1-π。实际中若π未知，可以用从大量观察中获得的比较稳定的样本频率p作为总体频率π的估计值。
（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的观察结果。
4. Poisson分布
4.1 图形
μ是Poisson分布所依赖的唯一参数，它表示单位时间（或单位面积、单位空间）内某随机事件的平均发生数，即总体参数。
4.2 总体均数与总体方差相等μ=σ2
4.3 正态近似
当μ=20时，Poisson分布接近于正态分布；当μ=50时，可以认为Poisson分布呈正态分布。所以在实际工作中，μ≥20时就可以用正态分布来近似地处理Poisson分布的问题。
4.4 可加性
若m个互相独立的随机变量X1，X2，X3，…，Xm分别服从参数为μ1，μ2，…，μm的Poisson分布，则其和X1+X2+X3+…+Xm也服从均数为μ1+μ2+…+μm的Poisson分布。
4.5 应用条件
Poisson分布是一种重要的离散型概率分布，用于描述在单位空间或时间内某稀有事件发生的次数。
5. 卡方分布
方差的分布有χ2分布和F分布。描述一个总体的方差时用χ2分布，而描述两个总体的方差时用F分布。
特征：
- χ2分布是连续型随机变量分布的概率分布。如果Z服从标准正态分布，那么Z2服从自由度为1的χ2分布，其概率密度曲线在（0，+∞）区间上表现为L形
- χ2分布形状与自由度的大小有关，自由度一旦确定，则卡方分布的形状就确定了。随着自由度增大，分布曲线逐渐趋于对称，当自由度足够大时，χ2分布曲线接近正态分布曲线。
6. F分布
F分布是关于两个总体方差的分布，其统计量F是两个独立χ2分布除以它们相应自由度的比率。
F分布曲线也是一簇曲线，随着自由度的增大，分布曲线逐渐趋于对称，当自由度足够大时，F分布曲线接近正态分布曲线。
7. 假设检验
7.1 参数检验
以特定的总体为前提，对未知的总体参数做推断的假设检验方法统称为参数检验。以正态分布总体均数进行假设检验的t检验和方差分析均属于参数检验。
7.2 非参数检验
又称为任意分布检验(distribution-free test)，不以特定的总体分布为前提，也不针对总体分布的几个参数做推断。非参数检验一般不直接用样本观察值做数据分析，统计量的计算基于原始数据在整个样本中按大小所占位次。