1.背景知识

在工程应用中，特别是信号处理领域，经常会遇到一些关于复信号的计算，一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换（FFT），它会将实信号也映射为复信号。与实信号相比，复信号包含额外的相位信息。某些物体，例如phase object，其有效信息完全包含在相位信号中。而且实数作为复数的一个子集，针对复信号设计的算法往往有更加广泛的应用。因此，研究复信号是非常有必要的。

实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives） — 一些余弦波叠加的FFT分析（图片来源：维基百科）

常见的对的复信号的处理是将其实部和虚部分开，然后进行单独处理，这样就可以用处理实信号的方法解决复信号的问题。但是，这种方法往往包含很多重复步骤分别用来处理实部和虚部。我们希望能够直接在复数域进行相关分析，从而让整个算法的结构变得更加精简。

信号复原是信号处理中一个重要的方向，主要研究根据测量结果恢复出原始信号，而这个问题常常被看作是一个优化问题。解决优化问题经常要用到函数的梯度，因此有必要研究复变函数的一些求导理论。

2.经典的复变函数可导性

在传统的复变函数理论中，可导性的要求非常严格，具体定义为：如果复变函数实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives）在处可导，那么极限

实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives）

总是存在，与实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives）趋近于的路径无关。因此，若将其写成实部和虚部的形式，那么对于函数和变量, 必须满足条件:

实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives） ,

这一性质与势能函数类似，即做功只与始末位置有关，而与路径无关，比如重力势能只与高度有关。因此其在一个封闭路径上的积分为0，从而可导函数具有上述的偏导数约束。

这种定义下的导函数是实数导数理论的一个直接推广，但是适用性较窄，使用时限制条件较多。一类典型的不具有这种可导性的函数包括所有的实值复变函数（非常函数）。对于这种函数，实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives）不为常数，,因此,必不满足上述偏导数条件。但是，这类实值函数在实际应用中很常见，一个例子是评价函数。对于一个复原后的复信号，我们对它的评价一定为一个实数，这样才可以用该指标的大小评价信号的好坏（一般复数无法直接比较大小）。在模仿深度学习进行误差反向传播更新的过程中，必然会涉及到实值复变函数的求导，而上述导数定义无法使用，因此引入了Wirtinger导数体系解决这个问题。