小白也能看懂的《数字图像处理》冈萨雷斯版中直方图均衡的公式

一、直方图均衡的目的

通过一个变换函数T (r )将像素点映射到s,s中所有级数的像素点出现的概率相同

二、公式推导

公式1
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推导过程
令fx(x)为pr( r ),fy(y)为ps(s),g(x)为T( r ),且其导数大于0,h(y)为g(x)的反函数,即h(y)=x
小白也能看懂的《数字图像处理》冈萨雷斯版中直方图均衡的公式由此,可以直接得到公式1
公式2
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公式3
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推导
1.连续函数介值定理
小白也能看懂的《数字图像处理》冈萨雷斯版中直方图均衡的公式2.积分中值定理
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3.变上线积分的求导
把上面最后的结果写成变上线积分的形式,即b改成x,之前的x改成t,就得到变上限积分函数。
然后定义一个点x0,用x->x0+与x->0-的值相等,证明了变上限积分函数是一个在x0处连续的函数。
然后令x无限趋近于x0,此时c无限趋近于x,就可以根据导数的定义直接推出变上限积分函数的导数等于原函数。
由此,推出公式3,剩下的就是把公式3代入到公式1,即可得出ps(s)为一个常量,即转换后的像素点在级数上均匀分布,概率相等