【特征缩放】为什么特征规模相差太大时，其代价函数的等值线是一个扁长的椭圆

 为什么在x1和x2的取值范围相差太大时代价函数的等值图会是一个扁长的椭圆形呢？

这里从代价函数的表达式入手来进行分析。

多元线性回归的代价函数表达式如下：

如果我们将hθ(x)展开，上式就可以写成

在这个表达式中，我们只关注蓝色部分（蓝色部分是变量）

在例子中，我们知道x1和x2的取值范围分别为[0,2000]和[1,5]，那么对于等值线图，如果我们任意取一条垂直于θ1轴的直线来看，如下图

由等值线的含义可以知道，上面图中两个相同标记（红色圆圈以及黑色×）的地方其J(θ)的函数值是相同的，然后我们再看下面这张图

同样地，也做了红色和黑色的标记。而且，上图中的四个红色标记和四个黑色标记的J(θ)值是相同的。

但是我们可以明显看到在θ1方向的变化比在θ2方向的变化小，这时就涉及到了我们上面蓝色的表达式，

因为，x2的取值范围比x1小得多，所以在J(θ)要在两个等值间变化时，对应于x2的参数θ2的变化范围就必须必x1所对应参数θ1的变化范围大得多，来达到平衡这两者之间关系的目的。

所以这个等值线图的形状是一个扁平的椭圆。