Block Hankel Tensor ARIMA 以及 人工智能中张量的构成

文章：Block Hankel Tensor ARIMA for Multiple Short Time Series Forecasting

感谢作者分享的原文。
张量的知识比较抽象，设计较高维度的认知。就用华为文章中提出的方法作为例子。

​ 首先为什么要提出使用张量进行时序预测呢？研究发现，在时序预测任务中，将低维张量映射到高纬张量能提取多时序之间的相关性。有可能特征不明显的时间序列投影到高纬张量，就能显示出平滑流形的特征。比如说块汉克尔张量，这种张量易于学习和训练。就好比如我们现在的数据，杂乱无序，相同的模型，在简单的数据集（比如帕金森数据集）上拟合地很快。200次迭代就能学习到模型，但是能耗数据集20000次迭代才可以，甚至更多。

​ 应用张量方法的第一步是生成张量，有一种新提出的张量方法MDT具有较好的时序预测性能。MDT方法在公式表达上很抽象，其正逆变换公式如下两条所示。

​ 但是从图解和来看就比较易于理解。

​ 比如我们原始的时序数据是$X_{I\times T}$XI×T​,如转换方程来看，就是将$X^{I\times T}$XI×T乘上一系列$S^T_{\tau(T-\tau+1) \times T}$Sτ(T−τ+1)×TT​,这是一种复制矩阵，如图可知这种矩阵的构造就是用一个${\tau\times \tau}$τ×τ 的对角矩阵拼成的，这样应该是为了抽取时序特征出来。比如我们的数据有I个特征，T个时间点，这是一个二维张量，通过这种方式能转换成三维的张量，$\widehat{X}_{I\times \tau \times \widehat{T}}$XI×τ×T​,$\widehat{T}=T-\tau+1$T=T−τ+1。这样下来，我们的数据就从二维的映射到了三维张量，时序大小也改变了。

​ 这步是张量的构成。这样的数据中，张量是低秩的，我们只需要其中的核心信息，于是就要对数据进行分解。通常的分解方法是塔克分解，分解的图解如下。

​ 公式如下所示，之所以是$\Delta^d$Δd开头，是因为这是ARIMA的公式要求，ARIMA公式需要对数据进行d阶差分。

​ 但是一般的ARIMA只能预测一个标量，所以作者对ARIMA公式进行了修改，也就是BHT-ARIMA。