从圆周率到实数分类
先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景：
“山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃（535897），酒杀尔（932）！杀不死（384），乐而乐（626）。死了算罢了（43383），儿弃沟（279）。”[前30位]
接着，设想“死者”的父亲得知儿“死”后的心情：
“吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟（69399）。”[15位]
再设想“死者”父亲到山沟里寻找儿子的情景：
“山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思（74944）。”[15位]
然后，是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活，儿子迷途知返的情景：
“吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（86280）。‘三思吧（348）！’儿悟（25）。三思而依依（34211），妻等乐其久（70679）。”[最后40位]
没错，上面就是π的前100位了!
今天，在这个特殊的日子，让我们从π出发，考虑实数的分类 !
有理数与无理数
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称 。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
无理数是所有不是有理数字的实数。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。
常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。
代数数与超越数
形如（
，n为正整数）的整系数（
为整数，
）代数方程的根x叫做“代数数”。
代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。
第一个定义可以具体描述为：
设z为复数。如果存在正整数n，以及n+ 1个有理数，并且
，使得：
则称z是一个代数数。
这个定义中，由于可以推出
，其中整数
分别等于
，M是n+ 1个有理数
分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得z是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得z是其复根”。
另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得z是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得z是其复根”。
这说明两个定义是等价的。
代数数在有理数下的“+”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，因此构成一个域，称为代数数域。
不能作为有理代数方程的根的无理数，即不是代数数的数称为超越数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”而得名。
实数与代数数
代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。
代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。
现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。
由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。
回到π
瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明π是个无理数，即不可表达成两个整数之比。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。
化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出的长度。这等价于从1开始作出
。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得
然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率来说，这样的多项式不存在。所有规矩数都是代数数，而
不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。
林德曼证明
的超越性用到了称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数
在有理数域
上线性独立，那么
也在
上线性独立。
反设是代数数，那么
也是代数数。考虑代数数0和
，由于
是无理数，所以它们在
上线性独立。然而
和
分别是1和-1，并非在
上线性独立，矛盾。
这说明 不是代数数，而是超越数。
国际圆周率日
2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。
国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。
2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3.14，因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”
趣闻事件
在谷歌公司2005年的一次公开募股中，共集资四十多亿美元，A股发行数量是14,159,265股，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926。
每年3月14日为圆周率日。“终极圆周率日”则是1592年3月14日6时54分（因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰好是圆周率的十位近似值）和3141年5月9日2时6分5秒（从前往后，3.14159265）。
7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）。
有数学家认为应把“真正的圆周率”定义为2π，并将其记为τ（发音：tau）。
以上就是小编给各位带来的圆周率日的分享。最后，请欣赏一段将数学与音乐完美结合的《圆周率之歌》小视频~
编辑 ∑Gemini
来源：数学职业家
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