非线性ode以及在工程中的应用作业（三）含源代码及讲解

1.

示例程序（maple程序）：

pendphaseplot := proc (ui, uf, n1, vi, vf, n2, ti, tf, n, vu, vv) local s, i, a, j, b, sys, fcns, q, p; s := {}; for i from 0 to n1 do a := ui+i*(uf-ui)/n1; for j from 0 to n2 do b := vi+j*(vf-vi)/n2; sys := diff(u(t), t) = v(t), diff(v(t), t) = u(t)^3-u(t); fcns := {u(t), v(t)}; q := dsolve({u(0) = a, v(0) = b, sys}, fcns, type = numeric, method = rkf45); p := plots[odeplot](q, [u(t), v(t)], ti .. tf, numpoints = n, view = [vu, vv], scaling = CONSTRAINED); s := s union p end do end do; plots[display]([op(s)]) end proc

1）相图：

命令行：pendphaseplot(-2, 2, 10, -2, 2, 10, -5, 5, 100, -2 .. 2, -2 .. 2)

（-1，0）焦点（0，0）中心点（1，0）焦点

2）相图：

（-1，0）中心（0，0）焦点（1，0）中心

3）相图：

（0，0）焦点，（1，0）中心

2.

1)

由此可得，当r=1时，有：

 大于零

小于零

酱紫都指向外侧了～所以，r=1为一个极限环，而且是不稳定的。

就像介个亚子～很直观了对不～

2）这个系统有三个奇点鞍点（0，0）鞍点（1，1）稳定节点（0，1/2）

x=0是一条轨线，在左半平面上没有奇点，没有闭轨，在右半平面只有一个鞍点，顾也无闭轨，由于解的唯一性，系统轨线不会与x=0相交，所以这个系统在全平面上没有闭轨～（参考常微分方程定性方法和分叉的P127页例题）