数学建模

多属性决策

定义

多属性决策常应用在投资决策、项目评估、维修服务、武器系统性能评定、工厂选址、投标招标、产业部门发展排序和经济效益综合评价等方面.多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进行排序或择优.
它主要由两部分组成:
(1) 获取决策信息.
决策信息一般包括两个方面的内容:属性权重和属性值(属性值主要有三种形式:实数、区间数和语言).其中,属性权重的确定是多属性决策中的一个重要研究内容;
(2)通过一定的方式对决策信息进行集结并对方案进行排序和择优.

加权算术平均算子WAA

加权算术平均算子WAA是信息集结的方法之一：

计算加权算术平均需要知道一个数据组(属性值)，一个向量组。

注意： 属性值的量纲必须统一。如果量纲不统一，例如：评定学生学习效果的4个指标为 考试成绩（量纲100） 平时成绩（量纲50） 德育分（量纲10） 体育成绩（量纲100） 权重向量为[0.6,0.2,0.1,0.1], 用加权算术平均算出的结果中德育分的影响就几乎可以忽略不计，不够客观。所以属性值量纲必须统一

归一化处理

属性类型

属性类型一般有效益型、成本型、固定型、偏离型、区间型、偏离区间型等

类型	内容
效益型属性	指属性值越大越好的属性
成本型属性	指属性值越小越好的属性
固定型属性	指属性值越接近某个固定值q越好的属性
偏离型属性	指属性值越偏离某个固定值B越好的属性
区间型属性	指属性值越接近某个固定区间(a,b)(包括落入该区间)越好的属性
偏离区间型属性	指属性值越偏离某个固定区间(a,b)越好的属性

为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，决策时可按下列公式对数据进行规范化处理。

公式

效益型

效益型的归一化算法一个为属性值处于最大值，另一个为属性值减去最小值的差除以在最大值减最小值的差。

成本型

固定型

偏离型

属性区间型

偏离属性区间型

回顾一下

多属性决策简单的说就是求某一方案在多个指标下的综合得分，综合得分通过加权算术平均得到。所以需要的数据为 该方案在各个指标下的得分（属性值，数据组）以及各个指标所占的权重（权重向量）。 为了保证属性值量纲的一致性，对数据进行了归一化处理，将属性都化为0-1之间。 还需要求一个权重。通过上一篇博客知权重值不能由我们客观的给出，而是应该用成对比较矩阵去计算出一个客观的权重。所以这里需要用到层次分析法中的程序计算权重值。
层次分析法程序：https://download.****.net/download/Ace_bb/12426503

实例

投资银行拟对某市4家企业(方案)进行投资，抽取下列5项指标(属性)进行评估:
(1):产值(万元);(2):投资成本(万元) ;(3):销售额(万元) ;(4):国家收益比重;(5):环境圬染程度。
投资银行考察了上年度4家企业的上述指际情况(其中污染程度系有环保部门历时检测并量化)，所得评估结果如表1.2所示。在各项指行中，投资成本、环境污染程度为成本型，其他为效益型.属性权重信息完全未知，试确定最佳投资方案.
用u1,u2,u3,u4,u5分别代替(1):产值(万元);(2):投资成本(万元) ;(3):销售额(万元) ;(4):国家收益比重;(5):环境圬染程度。x1,x2,x3,x4代替4家企业。数据表如下：

进行归一化处理后（注意要针对不同的数据类型进行归一化处理）

接下来计算使用层次分析法计算权重值，详情见：https://blog.****.net/Ace_bb/article/details/106154076

计算得到的权重值分别为: [0. 4286, 0.1429, 0.1429, 0.1429, 0.1429]

最后用WAA加权平均算子的方法就可以得出企业的综合得分。
x1,x2,x3,x4分别为0.80，0.79，0.89，0.85. 所以银行投资第三家企业比较合适。

————————————————博客内容为学习B站小石老师的数学建模视频时做的笔记。视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV12W411X7aE?p=2