矩阵

Ax=y

首先 A x = y Ax=y Ax=y可以视为一个系统
输入了 x x x得到了 y y y
A就是这个系统的响应，A描述了对x做出什么样的操作才可以将x变成y
而在线性代数中，x为向量，是一组确定的基( ξ \xi ξ)下的坐标，而A则为另外一组基( λ \lambda λ)

引用知乎已注销大佬的图来直观的解释

所以可以总结， A x = y Ax=y Ax=y的过程，实际就是用新基 λ \lambda λ将旧基 ξ \xi ξ替换掉，但是仍然使用相同的坐标。比如上图中，原本输入x是 1 ξ 1 + 2 ξ 2 1\xi_1+2\xi_2 1ξ1​+2ξ2​，但是输出为 1 λ 1 + 2 λ 2 1\lambda_1+2\lambda_2 1λ1​+2λ2​。很明显，尽管是相同的系数，但是由于基不一样，那么最终得到的新的向量肯定不是最开始的那个 x x x。

但是注意的是，得到的新的向量 y y y却仍然是用基 ξ \xi ξ来表示的。这是很神奇的一点，我们也可以这么理解：基 ξ \xi ξ和基 λ \lambda λ各自张成了一个线性空间，而 x x x只是普通的一组数，那么它可以是基 ξ \xi ξ上的一组向量，但是同时也可以是基 λ \lambda λ上的一组向量。但是 A x = y Ax=y Ax=y这个过程其实就是把原本在基 λ \lambda λ（新基）下表示的一个向量，映射到基 ξ \xi ξ（旧基）上，进而就得到了 y y y。

换个角度来看，旧基 ξ \xi ξ其实就是 I I I，就是 A I AI AI，相当于对原本的基进行了一个变换， A A A就是变换的方式。注意，在此之前， A A A都是作为一个矩阵被我们讨论，但是此处 A I AI AI相当于对 I I I进行左乘了一个变换矩阵 A A A，所以这里的 A A A可以被视为是一种变换。

矩阵是变换的数字表达，变换是矩阵的实际意义的体现。

那么我们就可以这么理解：

矩阵对向量的加工是通过改变基向量来实现的

在这个分析的基础上，取 y y y为不同的数值，比如 0 0 0，那么为齐次方程；如果为 b ( b ≠ 0 ) b(b\ne 0) b(b​=0)，那么为非齐次的。

那么这里就可以联想到方程组 A x = b Ax=b Ax=b有解的条件。

行列式

矩阵对向量进行加工，行列式能够描述这种加工作用的强弱

如上图，行列式可以定义为基向量张成的面的面积，如果假设原来的面的面积为1，新的面的面积为S

1. S>0，没什么特别的
2. S=0，这说明新的两个向量他们叠在一起了，所以面积才为零
3. S<0，这说明新的两个向量和旧的两个向量之间的先后顺序变了，如下图
   上面的第二条，就可以联想到方程组 A x = b Ax=b Ax=b有解的条件。