伴随矩阵和原矩阵的关系
伴随矩阵和原矩阵的关系
n n
n-1 1
n-1 0
若r(A)=n ，则r(A*) = n,
若r(A)=n-1，则r(A*)=1,
若r(A)<n-1，则r(A*)=0
r(A)=n，则|A|≠0，|A||A*|=1，|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n
r(A)=n-1，则rank A*>=1，AA*=0，rank(A*)=1
r(A)<n-1，则A的代数余子式都为零，A*=0，r(A*)=0
AA*=|A|E，A*的列向量为
如果AB=O,那么r(A)+r(B)<=n (n为A的列数,B的行数)
因为AA*=|A|E=O；所以A的列向量都是AX=0的解。所以：A的列向量可由AX=0的基础解系线性表示。所以r(A*)<=AX=0的基础解系的秩=n-r(A)。故有r(A)+r(A*)<=n.
然后可推广到一般情况：若AB=0,A,B分别是m行n列,n行s列矩阵，则r(A)+r(B)<=n。
基础解系的个数 n - r(A)。